“模糊”教學邊界 催生創造智慧

【關鍵詞】數學;邊界;智慧

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）-0063-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎;獨立思考、學會思考是創新的核心。”在數學教學中，當我們嘗試“模糊”教與學的邊界，把師者切實轉變為數學學習活動的參與者、組織者、引導者，學生的主體性才可能建立，才可能點燃學生內在的創新思維的火花，數學教學也才有可能真正實現其學科特有的育人價值。

在教學蘇教版四下《三位數乘兩位數》單元練習時，筆者利用兩位數乘兩位數的知識遷移，幫助學生認識和理解三位數乘兩位數的算理、算法，可沒想到一道思考題引發了“新舊知識間的思維沖突”。

用3、4、5、6、7五個數字組成三位數乘兩位數的算式：積最大的算式是□□□×□□=（ ），積最小的算式是：□□□×□□=（ ）。

筆者在備課時根據“如何求兩位數乘兩位數積最大”的經驗，將最大數“7”“6”分別列在最高位，然后再列出十位和個位上的數字，比如：753×64=48192，743×65=48295，對比乘積及兩個乘數之間的差：753-64>743-65，753×64<743×65，發現與兩位數乘兩位數積最大的解答策略一樣。積最小的算式則相反，357-46>356-47，357×46<356×47，還真是“差越大，積越小”。于是筆者認為：把給定數字組合為三位數乘兩位數的算式時，積最大、積最小的策略與兩位數乘兩位數的組合策略相同。

課上筆者將這道題目作為“餐后甜品”出示在黑板上，并且讓學生列出各種積可能最大的算式，寫了足足10道：543×76，674×53，654×73，653×74，643×75，743×56，743×65，754×63，753×64，765×43。

在梳理的過程中，學生根據“7×6>7×5>6×5”確定“7和6”一定在兩個乘數的首位。這樣就排除了“543×76、674×53、743×56、765×43”這四道積最大的可能性。

由于臨近下課，因此沒能讓學生去計算驗證剩下的6道算式，而是直接引導學生觀察以“7”所在首位的三位數乘法算式：743×65、754×63、753×64（其中有備課時預設的兩道算式）。于是，筆者讓學生再次估一估，哪個等式的積最大？并說說理由。

原本以為課堂會按照預設順利推進，不曾想，平時“默默無聞”的陳至人同學舉手并急切地喊道：“743×65不是最大，653×74才是最大！”

“怎么可能？”若不是這突如其來的喊聲，筆者早已忽視了剛才一組算式中第4個的“653×74”，他還列了另一道算式：643×75。

筆者“很不情愿”地把這兩道算式重新請上黑板：653×74，643×75。

“老師，我算過了，653×74=48322，比743×65=48295大！”陳至人理直氣壯地解釋道。

“你是怎么想到的？”我急切地問道。

“老師，這是我的‘U’型法。”陳至人不急不忙地在黑板上畫著。

“寫一個‘U’字母（如圖1），然后把數字從大到小按照‘U’的筆順位置排列（7-6-5-4-3），得到上面一個兩位數和下面一個三位數，這時兩數相乘積就最大！”陳同學細致地邊畫邊解釋。

接下來，同學們想到了列舉法，分別用“1、2、3、4、5”“2、4、6、8、9”進行了嘗試（如圖2、圖3），果真“52×431、94×862”的積最大。

“有求最小積的策略嗎？”其他同學立即問道。

“可以用‘n’法。”陳至人邊說便在黑板上演示，“順著‘n’的筆順位置排列（3-4-5-6-7），得到上面一個兩位數和下面一個三位數，這時兩數相乘積就最小，如圖4。”

果然，35×467=16345，比357×46=16422小了77。

“這種方法的依據是什么呢？那兩位數乘兩位數積最大的策略是不是適用于三位數乘兩位數呢？若數字中有‘0’又該怎么排列呢？”學生提出的問題把我們的思維引向深處，由于時間關系，這個問題只能留在第二天討論了。

第二天課堂上學生爭相匯報。三位數乘兩位數積最大的規律可以借助“兩位數乘兩位數積最大的策略”完成。其方法是：先考慮大的4個數7、6、5、4，組成的兩位數乘兩位數積最大的算式：74×65（同時滿足“兩個數的最高位最大”及“兩個兩位數的差最小”條件），接下來看最末位的3跟著哪個兩位數后面，通過計算743×65=48295，74×653=48322，74×653積大一些，由此得出末位的3跟在首位小的數的后面。

“因為3×65<3×74，所以‘3’跟在‘65’后面的積一定比‘3’跟在‘74’后面的積要大，大（74-65）×3=27。”課代表陳彥昆解釋道。

那三位數乘兩位數積最小的規律又是什么呢？各個小組得出結論：若想積最小，可以先考慮最小的4個數3、4、5、6組成積最小的兩位數乘兩位數：35×46，因為7個35小于7個46，所以“7”應該跟在“46”后面，得到算式：35×467。

學生合情推理的能力讓我吃驚！

“若這5個數字中有‘0’還能成立嗎？”又有同學提出了質疑。

“我們把最小數字‘3’改為‘0’，五個數字為‘7、6、5、4、0’，再次通過‘U形最大法’也能列出算式，當然還可以轉化為‘求兩位數乘兩位數積最大’的策略求解，不過結果是兩道算式最大：74×650=740×65，如圖5。”楊宇昕同學解釋道。

如果組成積最小的算式，那么“n”法還適用嗎？因為時間關系，筆者將這個問題拋給學生課后思考。

【反思】

回顧整個教學，師生一起經歷“經驗、探究、推理、再創造”的學習過程。首先由師者的“經驗”引發了一個“參與性問題”，再促使學生在主題范圍內自行發現問題并提出解決問題的方案，進而在解決綜合性問題的同時形成了“創造性問題”，發揮了“問題連續體”的作用。

“合情推理”貫穿了整個教學，課的開始就隱含著運用“兩位數乘兩位數積最大（最小）的數字組合規律”來解決“三位數乘兩位數積最大（最小）”的負遷移式推理（從“合情”到“不合情”）。接著將問題引向深處，面對“這樣組合的依據是什么，若數字中有‘0’又該怎么排列”這些問題時，需要“按據說理”。于是經歷了舉例驗證、歸納發現的合情推理過程。

本節課中，“探究、推理及再創造”的數學化過程都是緊緊圍繞“數形結合、寓理于算”的數學思想進行的。就當下的小學數學而言，這四個內容領域中的知識技能固然不可或缺，但貫穿其中的數學思想可能更為重要。

一節數學課，讓我經歷了一次“師者”至“學者”的華麗轉身！其實，“模糊”教與學的邊界，教師適度“退隱”其后，給予孩子一些平臺、展示空間，你常會收獲意想不到的“方法及策略”。作為師者，尊重生命才是為師的開始，我們的位置不僅不能居高臨下，而應位于敬仰的臺下，用鼓勵、賞識的目光支起所有學生最大的精神脊梁。同時綻放數學的嚴謹之美，彰顯數學思想方法的深邃，洋溢數學價值的理性精神，我想這才是數學學科期待的課堂！

（作者單位：南京市天正小學）