圓錐曲線求值問題中的奇思妙解

楊 美

（江蘇省張家港高級中學）

在圓錐曲線數值問題中，如何結合題目條件，根據圓錐曲線的定義、性質以及相應的思維方法來分析與處理是解決問題的關鍵.下面結合實例就圓錐曲線中數值問題的巧解加以實例剖析.

一、妙用定義，巧求未知量

圓錐曲線的定義揭示的是各對應的曲線的本質屬性. 對于涉及的圓錐曲線中的參數問題，若能巧妙靈活應用定義，往往能達到化繁為簡、事半功倍的效果.

例1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x 軸，拋物線上的點M（-3，m）到焦點距離等于5，求拋物線的方程和m 的值.

分析：解答本題可以直接利用拋物線的定義，得點M 到準線的距離為5，直接得出有關p 的關系式，從而求出p 的值.

點評：利用圓錐曲線的定義來處理一些有關的參數問題能使列式和解答簡潔方便，避免繁瑣的計算過程，能更好地充分體現圓錐曲線的定義在轉化問題中的作用，真正達到巧妙轉化、合理處置的目的.

二、妙設變量，巧求面積

涉及圓錐曲線的定義與標準方程有關的問題時，如何在實際解答過程中回避復雜的計算，成了處理這類問題的難點和關鍵.“設而不求，金蟬脫殼”是比較特殊的一種思想方法，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用.

點評：通過設出橢圓上的點到焦點的距離，引進m，n，將距離符號化，既方便書寫，又便于運算.這種“設而不求，金蟬脫殼”的整體思想在解題中常常被廣泛應用.

三、妙引參數，巧求最值

對于圓錐曲線中的某些最值范圍問題，有時用參數方程要比用普通方程更方便，除能簡化解題過程外，在培養學生解題的針對性和靈活性方面大有益處.

分析：通過把橢圓的直角坐標方程轉化為相應的參數方程，結合對應的表達式轉化為三角函數的最值問題再加以分析與求解.

四、妙用判別式，巧求范圍

圓錐曲線方程是二次方程，在解決圓錐曲線變量的取值范圍時，通過函數與方程思想，根據題中隱含條件，將問題化歸為一元二次方程模型后，妙用根的判別式可以巧妙快捷地求出變量范圍.

例4.已知拋物線y2=x 上存在兩點關于直線l：y=k（x-1）+1 對稱，試求實數k 的取值范圍.

分析：設出拋物線上關于直線l 對稱的兩點A、B 的坐標，根據對稱性建立相應的方程組，得到涉及y1+y2，y1y2的關系式，結合根與系數的方程得到對應的方程有不等實根的充要條件，轉化為判別式法來分析與處理.

解得-2＜k＜0， ∴k 的取值范圍為（-2，0）.

點評：本題涉及直線與拋物線的位置關系中的變量的取值范圍問題，通過方程有不等實根的充要條件的轉化，巧妙地把幾何問題轉化為代數問題，從而達到求解參數的取值范圍的目的.構思新穎，方法巧妙.

五、數形結合，巧求離心率

著名數學家華羅庚說過：“數形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀，形少數時難入微.”在圓錐曲線中的許多基本量都具有一定的幾何意義，挖掘題目中的隱含條件，揭示圖形的幾何性質，采用數形結合的思想方法，可解決一些相應的參數問題.

分析：通過數形結合，結合等差數列的性質、雙曲線的性質以及角平分線定理（或相關原三角函數關系式）來處理相應的圓錐曲線問題.

點評：數形結合的思想是數學重要的思想方法之一，其實質就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來.其具有直觀性、靈活性、深刻性，能夠跨越各知識點的界限，有較強的綜合性.利用數形結合來求解參數問題，解答更形象、直觀，一目了然.

總之，定義法、判別式法、參數法以及設而不求、數形結合、函數與方程等思想是解題求值問題中常用的思想方法. 根據問題條件靈活地應用，可擺脫生搬硬套，形成低耗高效的奇思妙解.