綜合題命題取向：嚴守規范，拒絕拼湊
——以兩道“出錯”考題為例

☉江蘇省常熟市滸浦學校 陳玉純

綜合題命題取向：嚴守規范，拒絕拼湊
——以兩道“出錯”考題為例

☉江蘇省常熟市滸浦學校 陳玉純

由于網絡媒體的發展，我們得以及時從相關網站上瀏覽、下載各地的月考試卷、期中卷、期末卷、中考卷，方便我們交流研習命題成果，然而良莠并存，也有不少試題中夾雜著一些錯題或缺乏基本命題規范的試題，這與數學追求嚴謹相悖.以下本著命題研究的個人愛好，列舉一些從網絡上摘抄下來的考題，給出商榷意見，提供研討.

一、“出錯”考題及命題商榷

例1（2014年江蘇省啟東市初三學業水平測試題）如圖1，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經過B點，且頂點在直線上.

圖1

（1）求此拋物線的關系式.

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由.

（3）若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N.設點M的橫坐標為t，MN的長度為l.求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時點M的坐標.

命題商榷：在百度上面查這道考題會得到幾十條相關頁面，有些還是以微課視頻形式講解該題，然而都沒有提及第三問這種錯誤命題呈現.主要錯誤如下所示.第一，這是命題者的一個“潛在假設”，即需要交代在（2）的條件下，繼續研究.第二，即使在（2）的條件下，還有幾個問題，比如（2）中只是探究C、D是否落在拋物線上，這還面臨不確定性.還有點與直線的位置關系一般就兩種，即點在直線上、點在直線外；這里“點M是CD所在直線下方的一個動點”如何理解呢？是否為個性化表述？第三，問題敘述與圖形呈現不夠簡潔，有很多無關信息夾雜其中，比如點A對于（1）并無作用，點E對于整個問題并沒有發揮作用等.鑒于數學有嚴謹而簡潔的追求，重新打磨如下.

（1）求b、c的值.

（2）如圖3，取一點B（-3，0），連接AB，將線段AB沿x軸向右平移n個單位長度得到線段DC，此時四邊形ABCD恰為菱形.

圖2

圖3

①求n的值，并判斷點C和點D是否在該拋物線上.

②若M點是邊CD上一個動點，過點M作MN//y軸交拋物線于點N.MN是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由.

例2（2014年江蘇省宿遷市初三調研卷）如圖4，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

圖4

圖5

圖6

（1）如圖5，當矩形EFPQ為正方形時，求正方形的邊長.

（2）如圖6，若以線段EF為直徑作半圓，其中半圓弧與點A在直線EF異側且半圓弧不能超過△ABC的范圍，則EF為何值時半圓面積最大，最大面積是多少？

（3）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積.

（4）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線BC勻速向右運動（當矩形的頂點Q到達C點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍.

命題商榷：這里出錯的地方主要在于（2）中概念不清，根據初中教材中對“半圓”的定義，半圓是弧，所對圓心角為180°，而從命題者的敘述中發現，半圓似乎成為一個“半圓扇形”，再求面積，這是不嚴謹的命題表述，值得商榷.（2）中“半圓弧與點A在直線EF異側”表述也不夠規范，根據初中教材中涉及點與直線的位置關系的表述，并沒有這種“異側”的說法，這可能也是命題者個性化的數學語言，在命題中要注意回避.此外，題干中有“AD交EF于點H”，在下面的設問中沒有涉及點H，是一個多余條件（命題者可能是想啟發或幫助學生解題時使用該點），應該刪除，追求簡潔.還有，問題設計了4個小問，偏多，加上3個圖形，也顯得閱讀量偏大，而且幾個小問之間關聯度不大，有拼湊之嫌，通常一個綜合題以2～3個小問為宜.對這道試題打磨后如下.

例2的改編如圖4，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，點E為AB邊上一動點，過點E作EQ⊥BC于點Q，EF//BC交AC于點F，過點F作FP⊥BC于P.

（1）四邊形EFPQ可能為正方形嗎？為什么？

（2）設EF=x，當x為何值時，四邊形EFPQ的面積取得最大值？

（3）在（2）的條件下，四邊形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線BC勻速向右運動（點Q到達C點時停止運動），設運動時間為t秒，四邊形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍.

二、進一步的思考

以上選取兩道網上傳播的“錯題”，逐題評析并給出打磨意見，并不一定準確，更不一定正確.然而關于命題的思考還沒有停止……下面就筆者所見所聞的綜合題命題現狀，再概述兩點.

1.綜合題的命題不能陷入“拼湊式綜合”

就目前所見的各地中考模擬卷、地區期中（末）卷來看，最后兩道綜合題總是命題老師精心布置的，然而不少綜合題由于片面追求所謂的“綜合”，涵蓋更多的知識點或模式，常常使得關鍵位置的綜合題陷入“拼湊式綜合”，如上文中的例2，命題者意圖把相似三角形的性質、直線和圓的位置關系、二次函數、平移變換帶來的分類討論等諸多知識綜合于一題之中，問題也就陷入了拼湊取向，使得各個小問之間缺少關聯度，成為一道品味不高的綜合題，而且閱讀量偏大，使得數學追求簡潔的目標落空.

2.綜合題的命題要嚴守“概念規范”

我們知道，數學是一門嚴謹的科學.李邦河院士說過：“數學，在根本上是玩概念的！”這些都不是戲言，然而在平時課堂教學中，由于一線教師對數學的理解往往還不夠深刻，特別是對一些核心概念的深入追問不夠，為了形象地講解，常常在自己的課堂上出現不少個性化的表達、不恰當的舉例、不精準的描述，目的是促進學生理解概念、積累經驗.但是作為命題，則不能允許出現個性化的表達，不精準的問題表征，需要嚴守“概念規范”.這也就是在上文例1中，出現了“M點是CD所在直線下方的一個動點”這種表述，被筆者優化為“若M點是邊CD上一個動點，……”；在例2中，命題者出現了“半圓弧”“半圓”的概念錯誤.其實，類似的概念不規范還有很多，比如七年級命題中常常出現“非負整數”的說法，這類概念在教材上都沒有得到定義，不太適合直接出現在正規考試中.

1.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

2.周艷娟.關于試題人文價值的另類思考——從2014年北京中考卷第25題說起［J］.中學數學（下），2015（1）.

3.劉東升.并列式問題與遞進式求解［J］.中學數學教學參考（中），2012（8）.

4.柳夕浪.教學評價的有效突破——首屆基礎教育國家級教學成果獎評析之五［J］.人民教育，2014（23）.

5.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數學教育現狀之惑［J］.數學通報，2013（12）.

6.羅紅英，楊靜梅.教材中數學史與思想方法的挖掘［J］.普洱學院學報，2014（6）.

7.潘亦寧，王珊，劉喻，唐洪秀.初中數學課堂上的師生互動研究——基于視頻案例的分析［J］.教育理論與實踐，2015（8）.Z