例說整體思想在解題中的應用

整體思想是指面對一個數學問題時，不去過多地關注細節，而將思維凌駕于整個題目之上，通過對問題整體的特征，結構，形式特點等方面進行分析，抓住隱藏在事物表象下的本質，化零為整。這種思想方法在解題中有時能起到意想不到的效果。學生如果能應用整體思想思考問題，不僅有助于學生找到鋸決問題的便捷方法，而且有助于鍛煉學生的思維，提高學生解決實際問題的能力。

整體思想方法就是把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法.它是數學思想方法中最重要的思維方法之一，這種思想貫穿整個學科.它在整式、分式、二次根式、方程（組）、函數甚至幾何運算中都有所體現，是一種非常重要和普遍的思維方法，因此在中考中具有舉足輕重的地位.

一、整體思想在求值題中的應用

在代數中有一類題目，給出一個含有未知變量的等式，而該等式的分解因式不能輕易看出，甚至根本沒有辦法在整式范圍內分解，這為解出未知變量增加了難度，此類問題用最常規的思維方法來解，必然要先求出未知變量，然后代進所求的式子中進行求解。這種常規方法雖然可以求出答案，但是過程繁瑣，計算復雜。而用整體法求解則會截然不同。

例1、已知4c2-c-6=0，求8c2-2c-5的值。

分析：按照常規思維，所求為一個關于c的多項式，那么得先知道c的具體數值，然后帶入8c2-2c-5進行求解。然而由已知可以看出在條件4c2-c-6=0中并不能輕易地進行因式分解，因此無法直截了當地求出未知數c的值。若根據一元二次方程的求根公式對根進行求解，計算過程也是相當繁瑣，可見，以上兩種方法都不可取。仔細觀察，若從所求代數式的整體結構特征分析，容易得知，已知的式子中4c2-c部分恰好是8c2-2c的一半，因此可以通過已知式子恒等變形，變為4c2-c=6，而8c2-2c=2（4c2-c）由此，迅速求出所求式子的結果。

二、整體思想在解方程中的應用

整體思想在解方程中的應用，主要表現在整體換元法，整體換元法主要是指在方程中未知數不易求的時候，將式子的一部分用另一個未知數來代替，解出所設的未知數。

三、整體思想在解應用題中的應用

整體思想在解答應用題中的應用，難點在于能夠拋開細枝末節，放眼整個題目，然后從題目的整體意思去體會所求未知量與已知量之間的關系，并能夠摒棄題目中的干擾數據，抓住題目的本質，從而避免走彎路，直接求出未知量。

例3、已知小紅和小白兩個人各自從自己家里出發，沿著相同的路前進，小明作為兩人的朋友跟小紅一起出發。不同的是，小紅和小白分別以1千米每小時的速度和2千米每小時的速度前進，小紅和小白家相距30千米。小明在小紅和小白相遇前一直在兩人之間5千米每小時的速度往返，直到兩者相遇。問小明從開始到小紅和小白相遇時共跑多少路程。

分析：通過分析很容易想到，要求小明一共跑的距離，就必須知道每次小明遇到兩人時，走的各段的路程，然后將這些段的路程加起來即為一共行走的距離，此種方法解題是因為在小明往返的過程中多次碰見小紅和小白，如果一次次地計算路程，必然因為次數較多，思路稍有疏忽就很容易將總路程計算錯誤。而用整體思想，無需考慮繁瑣的過程，只需要知道路程等于時間與速度的乘積，又速度已知，時間即為小紅和小白相遇所用時間，解題思路清晰，方法巧妙，且不易出現計算上的問題。

四、整體思想在解幾何題中的應用

整體思想在解答幾何題中的應用，主要表現在通過整體處理、幾何中的補形，化為更簡單的幾何問題，從而把問題解決。

例4、如圖，⊙A、⊙B、⊙C 兩兩不相交，半徑都是 0.5 cm，則圖中的陰影部分的面積是（ ）

分析：由于不能求出各個扇形的面積，因此要將三個陰影部分作整體考慮，注意到三角形內角和為 180°，所以三個扇形的圓心角和為 180°，又因為各個扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積就是半徑為 0.5 cm 的半圓的面積.

（作者單位：江西省贛州市南康區第六中學）