淺析高等代數中的行列式

摘 要：高等代數是數學專業的一門基礎課程，對于提高學生的邏輯思維和抽象思維能力尤為重要，同時也是學習其他相關學科的基礎。在高等代數中行列式為基礎重點知識之一。

關鍵詞：高等代數;行列式;計算方法

一、行列式

行列式是高等代數中的一個基本概念，它不僅有助于探討線性方程組，而且在矩陣的相關求解中有著重要的作用。本文通過幾個實例，討論行列式的性質及求解方法。

1.行列式的性質

性質1：行列互換，行列式不變。

性質2：數乘（提公因式），即若行列式有一行（列）的所有元素都有公因式k，則k可以提到行列式外再相乘。

性質3：拆項，即若行列式中某一行（列）的所有元素都是兩組數的和，則這個行列式可以表示為來兩個同階行列式的和。

性質4：若行列式有兩行（列）相同，則行列式為零。

性質5：若行列式某兩行（列）成比例，則行列式為零。

性質6：倍加，即把行列式的某一行（列）的倍數加到另外一行（列），行列式的值不變。

性質7：互換，即交換行列式中的某兩行（列）的位置，行列式的值要變成原行列式的相反數。

2.行列式的求解方法

（1）化成三角形行列式。利用行列式的基本性質，將所給的行列式化成三角形行列式，再利用三角行列式的結論求出行列式的值。

例1：

（2）遞推法。利用行列式的性質把原行列式變換成同類型的n-1階或者更低階的行列式表示出來，即可得遞推關系式，由遞推關系式求出原行列式的值。

例2：

解：將dn按第1行展開，可得遞推關系式：

dn=adn-1+b0 "①

由①式可得等式組②：

即，對n階行列式結論也成立。故由數學歸納法原理可知，結論成立。

二、克拉默法則（應用行列式解決線性方程組）

若線性方程組

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐仲.高等代數（第二版）導教導學導考[M].西安：西北工業大學出版社，2006.