淺談數形結合思想在三角函數中的運用

摘 要：數形結合方法實質是將形象的數學語言與直觀的圖像有機結合起來。通過對圖形的處理，實現抽象概念與具體圖形的聯系與轉化，化難為易。

關鍵詞：數形結合;三角函數;數學模式

數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”數形結合就是指把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，是抽象思維和形象思維的結合，通過“以形助數”或“以數解形”，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題途徑的目的。

高中數學課程中，三角函數這一章節一直是學生學習的難點，公式太多、計算結果正負號的確認、比較三角函數值大小等均是學生頭疼的地方。很多學生學習這些知識時處于模糊狀態，做題幾乎靠蒙。究其原因，因為學生不會畫或者沒記住三角函數的圖像。下面我們利用數形結合的思想，通過三角函數的圖像解決這節知識所包含的一些問題。

一、三角函數公式的記憶（以正弦函數舉例）

下面是正弦函數的幾個相關公式：

sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（1） "sin（-α）=-sinα（2）

sin（π-α）=sinα " （3） sin（π+α）=-sinα（4）

我們通過圖像來幫助記憶，y=sinx x∈[0，2π]的圖像如下：

圖1 " " " nbsp; " " "圖2

通過圖1可知，函數y=sinx是周期函數，且周期T=2π，所以公式（1）就可以理解了。

通過圖2可知，若α為第一象限角，則sinαgt;0;此時-α為第四象限角，由圖像可知對應的正弦函數值為負。

即sin（-α）lt;0。要實現等式“sin（-α）=？sinα”，顯然可知等式左邊為正，右邊為負，為了滿足等式成立的要求，“？”處只能為“-”，即公式（2）sin（-α）=-sinα。

同理可知，π-α為第二象限角，且由圖像可知sin（π-α）gt;0，要實現“sin（π-α）=？sinα”，“？”處只能為“+”，即公式（3）sin（π-α）=sinα;π+α為第三象限角，且由圖像可知sin（π+α）=

？sinα，要實現，“？”處只能為“-”。

二、三角函數值正負號的確認（以正弦函數舉例）

圖3 " " " " " " 圖4

三、不求值比較三角函數的大?。ㄒ哉液瘮蹬e例）

在三角函數這一章節中，經常出現這樣一類問題：“不求值比較三角函數的大小”。這類問題是本章節學習的一個難點，學生一直在“gt;”與“lt;”之間隨機選擇，找不到解題的切入點。

三角函數中，余弦函數和正切函數等相關問題依此思想可以得到類似的結果。本章節的重、難點也幾乎包含在這三類問題中了。因此，學生只要能應用數形結合這種解題的思想，輔助以一定的練習，就將能熟練地掌握這些知識，從而取得好的學習效果。

數學家華羅庚曾經說過：“人們對數學早就產生了枯燥無味、神秘難懂的印象，成因之一便是脫離實際?！睌敌谓Y合的思維方法，便是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是學生構建數學模式的基本方法。數形結合能地為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，使教學收到事半功倍之效。