關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的探討

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)有很多相通之處，如都十分看重數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、新興研究理念的引進(jìn)、對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技巧的運用、操作的簡單性等方面。但二者還有一些不同，表現(xiàn)在提出問題的方法、研究的目的和對數(shù)學(xué)的態(tài)度等方面。本文依照華羅庚教授的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法論，闡述說明應(yīng)用數(shù)學(xué)的諸多觀點。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;約束方法

在日常生活和工作中，最優(yōu)化問題是重要的決策要點，是系統(tǒng)的設(shè)計、管理與控制、改造和運行的重要主題。所有人的目標(biāo)都是讓自己所設(shè)計的工作體系在管理、運行或改造中達(dá)到最優(yōu)化。最優(yōu)化的問題包含兩大部分，一部分是目標(biāo)函數(shù)max，另一部分就是目標(biāo)函數(shù)的約束條件，這是數(shù)學(xué)規(guī)劃需要重點考慮的部分。

應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)者著力研究數(shù)學(xué)規(guī)劃包含的類型，對其中的某些類型提出了諸多求解的方法。目前研究成果最成熟的就是線性規(guī)劃（簡稱LP，即表示f、gi都是線性函數(shù)，且X≥0）。下面就從LP開始討論。

一、LP構(gòu)建中的重要創(chuàng)新和啟示

1.目標(biāo)函數(shù)

線性目標(biāo)函數(shù)的提出是一種突破和創(chuàng)新，在1946年由還在美國空軍服役的Dantzig提出。空軍制定計劃和調(diào)度流程時，激發(fā)了Dantzig的數(shù)學(xué)靈感，于是他著手建立了這種數(shù)學(xué)模型。主要就是用一些相互關(guān)聯(lián)的線性不等式組成一組，研究每個量之間的關(guān)系，這就是后來的約束條件。Dantzig通過這樣一組不等式，成功體現(xiàn)諸多目標(biāo)與現(xiàn)實之間的關(guān)系。

最初，Dantzig并沒有引入目標(biāo)函數(shù)，為了尋得一組線性方程組的最優(yōu)解，他采用增加約束條件的方式，但是因為沒有效果，他放棄了這條路。后來通過構(gòu)建和引入目標(biāo)函數(shù)，他創(chuàng)造了單純形法。

2.單純形法

單純形法的發(fā)現(xiàn)有兩個重大節(jié)點。第一是Dantzig在1947年研究可行解域時發(fā)現(xiàn)，他通過將極點沿著棱線移動的方式，改進(jìn)有限步驟達(dá)到最優(yōu)解。第二是他通過將之前的研究集合代數(shù)化，實現(xiàn)對LP基本定理的幾何直觀表現(xiàn)和代數(shù)精確表示，從而將LP形式推向成熟。

3.LP的誕生對人們的啟示

LP從萌發(fā)到最終成型給人們很多啟迪：第一，應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究同純數(shù)學(xué)研究一樣，在對于問題的提出和數(shù)學(xué)描述、技巧、數(shù)學(xué)思想的運用等方面都有十分明確的要求。純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)在研究過程中，首先需要對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化提煉，也就是丟棄所有無關(guān)緊要的形式，把剩下的部分轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)方式。第二，問題的提出有著非常明確的實際背景，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)十分特別之處。第三，應(yīng)用數(shù)學(xué)從誕生的一刻開始就是為了解決實際問題的。第四，數(shù)學(xué)的模型和算法也是相互依存的。第五，應(yīng)用數(shù)學(xué)來源于實際的工作，而非嚴(yán)密的邏輯論證，故而會因?qū)嶋H問題的起因不同，具有一定的靈活性。

二、純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的區(qū)別

純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)雖然有著很多共同的特性，但并非可以完全劃分等號。而應(yīng)用數(shù)學(xué)同純數(shù)學(xué)的區(qū)別，則恰恰體現(xiàn)出它的靈活性。

純數(shù)學(xué)學(xué)科經(jīng)已經(jīng)枝繁葉茂，十分成熟。純數(shù)學(xué)的分支眾多，專業(yè)化程度極高，甚至分支與分支之間差別很大。純數(shù)學(xué)研究的表現(xiàn)形式毫無疑問是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)論文，而論文的內(nèi)在核心是數(shù)學(xué)定理。評價一個數(shù)學(xué)定理的標(biāo)準(zhǔn)包括數(shù)學(xué)問題的重要性、數(shù)學(xué)問題的難易程度、研究成果的科學(xué)價值以及解決問題的構(gòu)思是否精妙及表達(dá)是否嚴(yán)謹(jǐn)清晰等。而純數(shù)學(xué)領(lǐng)域最關(guān)心的是最后一點，體現(xiàn)了純數(shù)學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)。

與純數(shù)學(xué)不同，應(yīng)用數(shù)學(xué)的誕生就是為了解決實際問題，因而在表現(xiàn)形式上、核心思想上都與純數(shù)學(xué)有著比較明顯的區(qū)別。首先，應(yīng)用數(shù)學(xué)還是數(shù)學(xué)的一種;其次，應(yīng)用數(shù)學(xué)是為了解決各種學(xué)科問題而產(chǎn)生的，還需要結(jié)合特定問題中交叉的學(xué)科來考量，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)不能出現(xiàn)負(fù)利率這種明顯與事實不符的計算結(jié)果;最后，應(yīng)用數(shù)學(xué)是為了解決生活中的各種系統(tǒng)問題，所以它的形式是針對性的研究報告，而研究報告的核心則是數(shù)學(xué)思維。應(yīng)用數(shù)學(xué)的評判標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該包括：問題的重要與否、問題的解決難度、解決問題所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益以及問題解決的表現(xiàn)形式是否精巧等。顯而易見的是，由于針對實際問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)不會像純數(shù)學(xué)那樣只有定理這一種確定的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn)形式，而是會因為問題的不同，體現(xiàn)出靈動多樣的表達(dá)方式和豐富多彩的解決方法。同時，更多學(xué)科的結(jié)合，也促使應(yīng)用數(shù)學(xué)向更高層次發(fā)展。

勇探索、爭創(chuàng)新是華羅庚精神的核心。對于中國應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，華羅庚教授認(rèn)為自己的主要工作是打開研究之門，構(gòu)建基礎(chǔ)，而希望后來者能夠站在他研究成果的基礎(chǔ)之上，展開新的研究。后來者們要將應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法及思想，靈活地運用到日常工作中，為中國應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展做貢獻(xiàn)。

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