關于應用數學與純數學的探討

摘 要：應用數學與純數學有很多相通之處，如都十分看重數學模型的構建、新興研究理念的引進、對數學思想和數學技巧的運用、操作的簡單性等方面。但二者還有一些不同，表現在提出問題的方法、研究的目的和對數學的態度等方面。本文依照華羅庚教授的應用數學思想與方法論，闡述說明應用數學的諸多觀點。

關鍵詞：應用數學;數學建模;約束方法

在日常生活和工作中，最優化問題是重要的決策要點，是系統的設計、管理與控制、改造和運行的重要主題。所有人的目標都是讓自己所設計的工作體系在管理、運行或改造中達到最優化。最優化的問題包含兩大部分，一部分是目標函數max，另一部分就是目標函數的約束條件，這是數學規劃需要重點考慮的部分。

應用數學學者著力研究數學規劃包含的類型，對其中的某些類型提出了諸多求解的方法。目前研究成果最成熟的就是線性規劃（簡稱LP，即表示f、gi都是線性函數，且X≥0）。下面就從LP開始討論。

一、LP構建中的重要創新和啟示

1.目標函數

線性目標函數的提出是一種突破和創新，在1946年由還在美國空軍服役的Dantzig提出。空軍制定計劃和調度流程時，激發了Dantzig的數學靈感，于是他著手建立了這種數學模型。主要就是用一些相互關聯的線性不等式組成一組，研究每個量之間的關系，這就是后來的約束條件。Dantzig通過這樣一組不等式，成功體現諸多目標與現實之間的關系。

最初，Dantzig并沒有引入目標函數，為了尋得一組線性方程組的最優解，他采用增加約束條件的方式，但是因為沒有效果，他放棄了這條路。后來通過構建和引入目標函數，他創造了單純形法。

2.單純形法

單純形法的發現有兩個重大節點。第一是Dantzig在1947年研究可行解域時發現，他通過將極點沿著棱線移動的方式，改進有限步驟達到最優解。第二是他通過將之前的研究集合代數化，實現對LP基本定理的幾何直觀表現和代數精確表示，從而將LP形式推向成熟。

3.LP的誕生對人們的啟示

LP從萌發到最終成型給人們很多啟迪：第一，應用數學的研究同純數學研究一樣，在對于問題的提出和數學描述、技巧、數學思想的運用等方面都有十分明確的要求。純數學和應用數學在研究過程中，首先需要對問題進行數學化提煉，也就是丟棄所有無關緊要的形式，把剩下的部分轉化為數學表達方式。第二，問題的提出有著非常明確的實際背景，這是應用數學十分特別之處。第三，應用數學從誕生的一刻開始就是為了解決實際問題的。第四，數學的模型和算法也是相互依存的。第五，應用數學來源于實際的工作，而非嚴密的邏輯論證，故而會因實際問題的起因不同，具有一定的靈活性。

二、純數學和應用數學的區別

純數學和應用數學雖然有著很多共同的特性，但并非可以完全劃分等號。而應用數學同純數學的區別，則恰恰體現出它的靈活性。

純數學學科經已經枝繁葉茂，十分成熟。純數學的分支眾多，專業化程度極高，甚至分支與分支之間差別很大。純數學研究的表現形式毫無疑問是嚴謹的學術論文，而論文的內在核心是數學定理。評價一個數學定理的標準包括數學問題的重要性、數學問題的難易程度、研究成果的科學價值以及解決問題的構思是否精妙及表達是否嚴謹清晰等。而純數學領域最關心的是最后一點，體現了純數學研究的嚴謹。

與純數學不同，應用數學的誕生就是為了解決實際問題，因而在表現形式上、核心思想上都與純數學有著比較明顯的區別。首先，應用數學還是數學的一種;其次，應用數學是為了解決各種學科問題而產生的，還需要結合特定問題中交叉的學科來考量，比如經濟學不能出現負利率這種明顯與事實不符的計算結果;最后，應用數學是為了解決生活中的各種系統問題，所以它的形式是針對性的研究報告，而研究報告的核心則是數學思維。應用數學的評判標準應該包括：問題的重要與否、問題的解決難度、解決問題所產生的經濟效益以及問題解決的表現形式是否精巧等。顯而易見的是，由于針對實際問題，應用數學不會像純數學那樣只有定理這一種確定的嚴謹的表現形式，而是會因為問題的不同，體現出靈動多樣的表達方式和豐富多彩的解決方法。同時，更多學科的結合，也促使應用數學向更高層次發展。

勇探索、爭創新是華羅庚精神的核心。對于中國應用數學的發展，華羅庚教授認為自己的主要工作是打開研究之門，構建基礎，而希望后來者能夠站在他研究成果的基礎之上，展開新的研究。后來者們要將應用數學的方法及思想，靈活地運用到日常工作中，為中國應用數學的發展做貢獻。

參考文獻：

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