數學“數列與差分”專題教學設計研究

摘 要：高中數學的選修部分有數列與差分這個內容，涉及大學中離散數學的基本知識點，學生掌握好這部分內容能夠為以后大學的學習打好基礎。文章旨在展開該專題的教學設計分析，為該專題的教學工作提出一些個人想法和建議，是對該專題教學設計的有效補充。

關鍵詞：數列;差分;教學設計

在建筑領域中，電梯使用首先是建造出一個描述實際使用電梯的數學模型，然后再設計相應的PLC程序指令完成這個數學模型的要求。如中國福利彩票每期開獎數據，可以用數列表示出來，一些彩民就是利用長期數列查找出其中的一些數學模型及其規律。再如滬深股票的漲跌數據，也是可以由一些離散的數列表示出來，操盤手利用平時的經驗，數據走向達到一定值時，開始進行運作。總之，數列在生活中的應用數不勝數。差分是對數列的進一步運算得出的，它是一種新的數列，是對原來數列規律的一種反應。例如一個數列的一階差分數列是一組常數，則原數列就是線性函數列，也就是常說的等差數列，當一個數列的二階差分數列中出現了一個大于零的數時，原數列表示在坐標軸上的點就是從這個位置開始凹的，反之是開始凸的。

一、教學目的、內容和總體思路

高中數學是學生學習的難點，尤其是現在課程改革之后，將有些高等數學中的基本知識點下放到高中數學的選修部分中，給高中的教學工作帶來了不小壓力。如導數、矩陣、布爾代數、數列和差分都屬于高等數學中基本的知識點，現在已成為高中數學學習內容。

數列和差分的教學主要分為兩大部分：差分概念及與數列的關系、差分方程。其總體思路為，從易到難，按照教材的順序，先講差分概念，再講與數列的關系，最后談一談差分方程方面的內容。講授過程中加強對教材的再次開發，從簡單的事例著手，從學生感興趣的問題談起，注重教學內部的邏輯脈絡，注意啟發式教學在教學過程中的應用。最后是學習效果評價，這一部分是選修內容，一些學生在理解和掌握過程中存在很多困難，所以評價過程要求學生以了解知道為主，不需要所有學生都能掌握運用所有知識。

二、具體設計

首先，課前要求學生預習，教師提前一天布置學生復習數列有關概念，預習差分相關概念。

其次，在課堂上，主要分為三塊內容——差分概念、與數列的關系和差分方程。

第一部分，使用生活中的事例引出差分的概念。如開車時每小時記錄一次里程表上的公里數，形成一個數列，再把這個數列每一項進一步相減，便是差分，由此引出差分概念。進一步介紹這一次相減后的差分屬于一階差分，再減一次屬于二階差分，如此下去。這時可以啟發學生思考等差數列的一階差分是什么，從而引出差分與數列的關系。如一階差分是常數列，則原數列就是線性數列，就是通常所說的等差數列。

進一步啟發引導第二部分，差分與數列的升降、最值、凹凸之間的聯系。這部分內容有一些是前面課程涉及到的，可以前后聯系，啟發式教學可以使得學生使用聯系的眼光看問題，對知識整體把握。在整體把握知識點的同時，提高學生學習興趣。

第三部分與前兩個部分表面上沒有直接聯系。可以首先介紹一下差分方程等一系列概念，如（非）齊次差分方程、（非）線性差分方程。然后啟發學生回想一下系數矩陣與方程組的關系，聯系現在學習的差分方程的解，思考兩者之間的相似點和不同點。這樣可以同時加深對這兩方面知識掌握的程度。在教學的過程中，要給足學生自己獨立思考、演算的時間，這樣他們對知識的理解才能有感性的認識。同時，要尊重學生的對知識點“質疑”，鼓勵學生將自己的“質疑”說出來，因為這種“質疑”就是他對這個知識的疑問，可能這也是其他學生都有的疑問，教師應詳細的講解，及時糾正學生對知識點認識的偏差。

最后，布置一定的習題。同時教師可以通過習題的練習找出學生在哪些知識點上還存在問題，以便以后進一步講解，綜合評價學生的學習效果。

數列和差分是離散數學的基礎概念。高中數學中的數列和差分的內容屬于選修部分，難度很大，對一些有能力的學生可以做適當的要求。任何專題的教學設計都是多樣的，筆者從自身的經驗角度，提出一些關于數列和差分專題的教學設計，望為他人教學提供有效參考。

參考文獻：

[1]劉楊.高中數學“數列與差分”專題教學設計研究[D].濟南：山東師范大學，2012.

[2]劉運松.高中數學“數列與差分”專題教學設計研究[J].數理化學習（高三版），2013（9）：52.