授之于“漁”

摘要：教會學生學習數學的方法，比會做幾道題目更有意義！如何培養學生數學思維能力，本文論述我是如何提高數學教學的實效性。

關鍵詞：數學思維；數學思維障礙；數學思維能力

中圖分類號：G633.6

文獻標識碼：A

文章編號：1006-3315（2015）10-038-001

根據布魯納的認識發展理論，學習本身是一種認知過程，在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的基礎或不能覺察到學生的思維出現了困難，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時，或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經“校正”后吸收。

例：在Rt△ABC中，∠C =900，CD⊥AB于D，則CD2=AD.BD，這就是射影定理，類比這個定理，在空間中，三個側面兩兩垂直的三棱錐中可以得到什么結論？

（點撥）由題目可以獲取以下主要信息：

（1） Rt △ABC中，CD2=AD.BD是平面幾何中的射影定理；

（2）利用類比的方法從平面幾何知識探索空間立體幾何的結論。

學生在做這一題時明顯存在著思維障礙，對于三棱錐P-ABC中與平面直角三角形斜邊上的高CD對應的量只要作底面ABC的高PO，但直接找不到與AD.BD對應的量，所以要考慮對平幾中射影中的結論CD2=AD.BD進行變形為，

這樣易于得到空間立體幾何結論：

由淺人深的思維方式也是我們教學中經常用來進行新舊知識的“交接”的。如在講到冪函數時復習初中二次函數。

例：1）求出下列函數在x∈[O，3]時的最值：

（1）y=（x一1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x一4）2+1

2）求函數y=x2_2ax+a2+2.x∈[0，3]時的最小值。

3）求函數y=x2_2x+2.x∈[t，t+l]的最小值。

上述設計層層遞進，每做完一題，提出深一層次的題目，適時指出解決這類問題的要點，不僅培養了學生的思維方法，還大大地調動了學生學習數學的積極性，提高了課堂效率。

由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，如函數定義y=f（x），很多學生在學完了高中數學都沒能把函數這一抽象性意義弄清楚，他們對函數的性質：單調性、奇偶性、周期性等概念茫茫然，在證明過程中往往只驗證一部分性質，對“任意”一詞無從把握。譬如判斷函數的奇偶性問題，不少學生會只驗證f（0）=0，f（一1）=一f（1）等特殊值就判斷該函數是奇函數。因為解題的不全面，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。所以他們往往只會順著事物的發展過程去思考問題，注重由因到果的思維習慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法，以上這一題是學生出現的一種錯誤，另一種錯誤是時常忽視定義域問題，直接驗證f（一x）=一f（x）也得到f（x）為奇函數。

所以在教學中，對于學生的以上兩個錯誤，需要時時提醒，讓學生的思維更加嚴密，從而會解決奇偶性這一類題目。

還有一類情況是，學生不管三七二十一，把題目往自己熟悉的題目類型上去套，而不管可不可行。

例：證明│a│≤1，│b│≤l時，ab+（1-a2）（1-b2）≤1。

待學生思考片刻后提問，有相當一部分的同學是通過三角代換來證明的（設a=cosα，b=sinα），理由是│a│≤1，│b│≤1，這恰好反映了學生在思維上的單一性，把兩個毫不相干的量建立了具體的聯系。他們缺乏足夠的抽象思維能力，往往善于處理一些直觀的或熟悉的數學問題，而對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，轉化為已知的數學模型或過程去分析解決。

例：已知實數x，v滿足、=lx+y+ll，則點P（x，y）的軌跡為

學生一看題目就化簡方程，算啊算了半天，還看不出結果，就再找自己運算中的錯誤，而不是仔細觀察該式的結構√x（x-1）2+（y-3）2=│x+y+1│/2進而可以看出點P到點（1，3）及直線x+y+1=0的距離相等，從而得其軌跡為拋物線。

以上兩例教學中的問題提醒我們，學生的思維在抽象意義上出現了偏頗，我們就要在這方面找到問題的解決之法，從具體到抽象，抽象到具體，不斷地鍛煉學生的思維能力。

由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘問題中的隱含條件，抓不住問題中的注意點，最終影響問題的解決。如非負實數x，y滿足x+2v=l，求x-+y-的取值范圍。在解決這個問題時，如對x，y的范圍沒有足夠的認識（O≤x≤1，O≤y≤1/2），那么就容易產生錯誤。另一方面學生不知道用所學的數學概念為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多角度的分析，缺乏對自我思維過程的調控。

例：已知關于x的方程x2-（2i-l）x+3m-i=0有實根，求m的取值。

可能會有不少學生不假思索的就把實數范圍內對方程有無解的判別式△就拿出來計算，理由是初中老師就是這樣說的呀。又如剛學立體幾何時，一提到兩直線垂直，學生馬上意識到這兩直線必相交，這些思維定勢對解題造成了很多困難。這都是學生學習數學時遇到的思維障礙，不僅不利于學生數學思維的進一步發展，而且也不利于學生解決數學問題能力的提高。再者我們要重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。

例：設X2+y2=25，求u=、/8y-6x+50+/8x+6x+50的取值范圍。若采用常規的解題思路，u的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：u=、√（x-3）2+（y+4）2+√（x+3）2+（y+4）2，轉而構造幾何圖形，容易求得u∈[6，6 √10]。

這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識，也能提高學生的數學思維能力。