再談“分數”教學的三個本原性問題

【文章導讀】

“分數的意義”一課是各級各類小學數學教學研究活動的高頻課例，也是許多名教師反復玩味打磨的課例，聽了那么多關于“分數意義”的課例，你思考過這些設計各異的課例背后面關于分數教學的本質的、本原性的問題嗎？在聽課后如何深度思考的問題上，陸曉林老師的文章會對我們有所啟示。

“分數的意義”一課是各級各類小學數學教學研究活動的高頻課例，也是許多名教師反復玩味打磨的課例，一線老師對“分數”的教學也有很多思考和實踐。盡管如此，但從實際的教學效果看，有些學生對什么是分數、為何要有分數、分數何時使用與怎么使用等具體問題的認識并不清晰。對于相當一部分教師而言，如何幫學生建構準確的分數概念、單位“1”要不要教、分數難學難在哪里也說不清、道不明，所以有必要對教學中的一些本原性問題再做些探討。

1.什么是“分數”？

分數是怎樣的一類數？只要教過和學過的師生都能把定義說出來，但定義背后的“本質”卻不一定知道，這是關于分數教學的本原問題。從數系衍生的角度看，分數產生于自然數之后，來源于等分或測定一個連續的量的需要。正如自然數來源于計量不連續的量一樣，都是產生于人類實際的生產與生活。

分數的本質在于真分數，其現實背景有二：一是表達整體與等分的關系，二是兩個數量之間的整比例關系。分數雖然可以看成是除法運算與比的另一種表示形式，但其本質是“數”，而不是運算，具有“量”與“率”兩重意義，是“率”的確定性與“量”的不確定性的統一，是一種無量綱的數。【1】

在現行的小學數學教材中，分數的引入都是從平均分一塊蛋糕等具體的實物開始的，這是分數的“量的導入法”，是分數概念的經驗根源。即用分數來直接表示“平均分”的結果，平均分幾份和需要表示幾份都是通過直觀圖直接呈現的。需要平均分幾份是已知的，無需測量、計算并調整確定，學生頭腦中建立的分數概念的模型是“餅圖式”的，是基于上述分數的現實背景展開的。

需要特別說明的是，從分蛋糕引入分數不是對“個（塊）數”的平均分，而是對蛋糕“屬性”——質量（重量）、體積的平均分，“個（塊）數”是不連續的量，“體積”“質量”是連續的量。打個比方，把100元平均分成兩份，每份是50元，而不能說把100元面值的紙幣二等分就是50元。在實際教學中，很多老師都誤認為平均分的是“個（塊）數”

2.“單位‘1’”要不要教？

“單位‘1’”的概念是分數的“份數”定義的基礎，也是學生理解分數意義的起點概念。著名特級教師華應龍先生曾經精彩演繹過不教“單位‘1’”的概念來引導學生認識分數的課例，并且著文闡述了他的思考。其實，“單位‘1’”與“一個整體”“一個單位”是大同小異的不同說法，理解了后者也就理解前者。不出現“單位‘1’”的稱謂，不等于沒有教學“單位‘1’”。我覺得應該給學生講什么是“單位‘1’”。

之所以要有“單位‘1’”，一是它涵蓋了一個物體、一個計量單位、一個整體等多種類型的情況，體現了元素、集合辯證統一的思想，明確了分數是相對于“1”作為比較標準的數，突出了數學的抽象與概括、簡約與形式化的特點。二是“單位‘1’”這一概念的表示方式已經數學符號化了，有利于數學表達、數學交流，促進數學理解。比如，后續的解決分數具體問題的學習與探討，“單位‘1’”概念的運用有利于學生將具體問題進一步概括、簡約，從而抽象為數學問題，建立數學模型。三是可以強化“單位‘1’”的工具作用，有利于在數軸上對分數作直觀的解釋。既然是“單位‘1’”，已經有了用數軸表示自然數的基礎，用0至1之間的線段來表示它，學生覺得是順理成章的事，易于理解，這比用圖形和實物來感知分數的含義要抽象得多，雖然仍是幾何直觀，但可以充當分數的“份數模型”向“除法的商”定義過渡的載體。用線段的長度來表示分數，可以顯示分數是充斥于兩個自然數之間的新數，學生很自然地想到0和1之間分布著密密麻麻的真分數。

教學“單位‘1’”不是要讓學生記住形式化的概念，而是為了讓學生更好地理解和掌握分數的意義。先哲說，凡是合乎理性的東西都是現實的，凡是現實的東西都是合乎理性的。“單位‘1’”從現實而來，也是合乎理性的。教學中講不講“單位‘1’”，不是為了區分對錯和教學的優劣，而是對現實存在的教材及教學內容表明教者的價值判斷和選擇。

3.分數難學，學生缺乏分數思維原因在哪兒？

學生缺乏分數思維，是因為學生在生活和學習過程中接觸到的整數、小數都是與具體的量相聯系的，是絕對意義上的多與少的問題。而分數除了表示“量”的意義外，更多地用在表示“率”的意義上，是相對意義上的多與少的問題。學生習慣于在“量”的意義上認識新數，所以用“份數”來定義分數存在先天不足。一份或幾份的說法，是通過平均分和計數操作基于整數知識來生成分數意義的，沒有充分顯示出分數的特殊性。分數的“份數”定義是認識分數的起點，直觀明了，必須先教。但要讓學生具備分數思維，分數的“份數”定義不宜過多地強化，后續的教學應該迅速向分數的“商”的意義、“比”的意義轉移、靠攏。分數意義中的“份數”的定義表達體現“過程”，“商”的定義表達側重于表示“結果”。運用“比”的定義可以加深理解，是“過程”與“結果”的兼顧。[2]

前面說過，分數概念具有經驗的起源，是從連續量的等分或測量中產生的。然而，歷史上隨著數學的發展，特別是數理研究的逐步深入，或出于把“數”從“量”中分離、獨立出來的考慮，或出于對各種“數”系統性討論的需要，人們從數學本身的角度用各種方法來研究分數的起源及其性質與計算規則，其中方法之一——“解析法”就認為分數由于兩個自然數不能整除而產生的數，這是分數的本質所在，符合數系擴張的思想，由“份數”的定義到“商”的定義是一次質的跨越和升華，是分數思維確立的關鍵。學生具備不具備分數思維與其對后兩種分數意義（商的意義、比的意義）的理解程度密切相關。

事實上，分數的“商”和“比”的意義在現行教材中不是作為分數本身的意義來認識的，而是作為分數與除法、比的關系來教學的，客觀上也影響了學生對分數本質意義的理解與把握。

學生沒有分數思維的另一個客觀原因，是因為分數本身既不是“十進制”的，也不是“位值制”的，與學生豐富的自然數、小數生活經驗相沖突。分數計數單位的“任意性”與自然數、小數計數單位的“確定性”不同，任何一個分數都有無數與之有等價關系的分數，分數等價類中的每一個分數都有特定的用處和價值，分數的這一特點也是學生難以理解之處。[3]

學生形成分數思維要經歷三個階段：第一個階段借助圖形直觀來理解分數——圖形思維階段;第二階段借助于除法運算或按比例分配的方法來解決涉及分數意義的、順向思維問題——智力動作思維階段;第三個階段能綜合運用分數的份數定義、商的定義、比的定義和分數的基本性質，會根據具體的問題情境靈活選擇和確定適合的分數單位，正確回答涉及分數意義順向、逆向思維的問題——概念（意義）思維階段。

綜上所述，分數的學習從某種意義上說是學生逐步脫離“量”來認識“數”，真正建構具有獨立性的“數”系統的開端，所以鄭毓信教授強調：分數是數學思維真正進入小學數學的地方。分數是“數”，又蘊含了一定的數學思想方法，意義深刻、豐富，包含了多個不同的方面，自然也就難以理解。正如德國數學家克羅內克所戲言的那樣，上帝創造了自然數，其余都是人為的。既然是人為的，自有其創造之妙！

參考文獻：

[1]史寧中，基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：14-15.

[2]張奠宙、孔凡哲、黃建弘、黃榮良、唐彩斌，小學數學教學研究[M].北京：高等教育出版社，2009：79-82.

[3]張奠宙、孔凡哲、黃建弘、黃榮良、唐彩斌，小學數學教學研究[M].北京：高等教育出版社，2009：83-85.

（陸曉林，海安縣實驗小學，226600）

責任編輯：顏瑩