高中數學與研究性學習在物理中的應用實踐研究

【摘 要】從五個方面闡述數學在物理學中的具體應用，幫助學生建立聯系的觀點，用聯系的觀點指導學習，以取得更大的進步。

【關鍵詞】高中物理 向量 余弦定理 不等式 最值 圓錐曲線 直線 數列

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）05B-0022-03

一、課題背景

北京奧運會舉世矚目的兩座建筑鳥巢和水立方涉及多方面的知識，其中主要涉及工程力學這一領域的知識。鳥巢和水立方工程的難度系數大，消耗的人力、物力、財力也大。在當時來說，如何節約材料、縮短工期是擺在建筑師面前的難題。中國工程師運用數學幾何學中的點線面模型和相關知識，成功解決了在建筑過程中遇到的這個難題，使得建筑工作順利完成，節約了大量材料，工期縮短了半年之長。牛頓憑借超凡的數學能力證明了，若太陽和行星間的引力與距離二次方成反比則行星軌道是橢圓的。這些是借助超凡的數學能力來完成世界性的難題。

數學在物理學當中的應用非常廣泛。我們知道，一道物理應用題需要物理和數學知識相結合才能完整作答。一般來說，一道物理應用題要經過物理的邏輯推理，列出合理的關系式，運用數學運算來進行數理推導，最后求出答案。可見，數學在物理中的地位相當重要。

我們也知道，每一位物理學家也同時是了不起的數學天才，如牛頓，愛因斯坦，他們利用非凡的數學天才去解決自然之迷，利用數學這個工具去尋找和發現物理規律。著名數學家羅巴切夫斯基曾經說過：“任何一門數學分支，不管它如何抽象，總有一天會在現實世界中找到應用。”數學用10個數字給我們拓展了無限美好的空間，下面我們將用實例驗證這位數學家的名言。

二、課題的目的和意義

通過探究性學習，合作學習，促進同學之間有效地溝通，也使學生改變單一的接受性學習方式。另一方面使其學會如何在學科之間找到相互聯系，通過研究性學習、參與性學習、體驗性學習和實踐性學習，實現學習方式的多樣化。讓學生知道學習的過程是一個不斷提出問題、解決問題的探索過程，以此開闊思維，提高思考能力。

三、課題探究的主要內容

1.向量知識與余弦定理在物理中的應用；

2.不等式解決最值問題在物理中的應用；

3.圓錐曲線在物理中的應用；

4.直線在物理中的應用；

5.數列知識在物理中的應用。

四、課題研究的方法、手段與途徑

1.運用行動研究法、文獻法和經驗總結法；

2.注重收集題型，對相關例題進行學習和分析，以備使用和研究；

3.運用對比分析法，并通過網絡與其他學校學生進行合作學習。

五、立項課題

廣西教育科學“十二五”規劃課題成果《高中數學教學與研究性學習整合的理論與實踐研究》（課題編號：2013A035）。

六、學生合作小組成員

謝桂蘭 馮詩云 藍大鎮 羅靖宏 廖華彬 陳濤 韋顯雪 謝苑瑤

七、合作探究過程和成果

（一）向量知識與余弦定理在物理中的應用

在物理學里，值得注意的問題就是矢量和標量，這類似于數學上的向量與數量。矢量和向量的加、減和點乘完全相同。首先，矢量和向量的加法、減法都符合平行四邊形定則和三角形定則。

這是矢量和向量的基本運算方法，但值得一提的是，數學上向量的計算引入了坐標法，同時又將向量表示成類似坐標的表達方式，如。且，同樣，。在直角坐標系里記A（xa，ya），B（xb，yb），則。將這樣的運算方式推廣到物理學領域可快速地解決問題。例如 Fa 與 Fb 的夾角為 30°，Fa=8N，Fb=5N，求Fa+Fb的值。解決的方法之一就是套上數學方法利用坐標系進行運算。

建立坐標系，令 Fb 在 x 軸上，這樣 Fa 與 x 軸的夾角為 30°，則，這樣。所以。其實，條條大道通羅馬，很多物理問題是可以通過多種途徑得到解決。又如任意一個 △ABC ，其頂點 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，在數學上存在這樣的公式：a2=b2+c2-2bc cos A，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=b2+a2-2ab cosC。這三個公式被稱為余弦定理。在物理上求兩個力的合力的問題時可以用余弦定理解決。

在電學方面，直線還有其并不直觀的應用，可以用來求電源內阻和電動勢。如圖4所示的電路中，路端電壓 U 與電源電動勢 E 、內阻 r 、電流 I 有如下關系：

U=E-Ir ，當滑動變阻器的滑片移動時，電流表和電壓表的示數發生改變，建立坐標系，得到圖5。由于種種原因，按照讀數描出的點不嚴格地在同一條直線上，又由于電表工作范圍的限制，我們只能畫出該函數的一部分。我們盡可能地使直線貼近更多的點，或使更多的點落在直線上，以減少誤差。將直線延長，與 U 軸交于一點，該點的 U 值就是電動勢 E 的值，而內阻 r 就是該函數函數斜率的絕對值。當有兩組不同的電流、電壓值時，則由 兩個式子聯立可得 E 與 r 的值。

（五）數列知識在物理中的應用

小球從 h=45m 高處自由下落，著地后跳起，然后又下落，每與地面相碰一次，速度就減少為原來的 k 倍。若 k=0.5 ，求小球從下落開始直至停止運動所用的總時間。（g 取 10m/s ，碰撞時間忽略不計）

〖解析〗求小球運動的總時間，必須根據小球的運動特征，由運動學公式將小球每碰一次在空中運動的時間求出，然后再累加求和。

小球從 h0 處下落到地面時的速度：v1 ，運動的時間： 。第一次碰地后小球的速度為3k。小球在再次與地面碰撞之前作豎直上拋運動，這一過程小球運動的時間： 。同理可推得，第 n 次碰地后，小球的運動速度為： vn=3kn，運動時間為： 6kn ，由此可知，小球從下落到停止運動的總時間為：代入 k=0.5， t=9 s 。上式括號中是一個無窮遞減的等比數列，其首項為 k ，公比也為 k，用數學等比數列的求和公式可得其答案：t=9 s 。

本題是數學中的數列知識與物理學中的運動學結合的問題，在求解該問題中，正確寫出某一物理量的通項表達式是解題的關鍵，然后應用數列和極限知識就可解出答案。

很多實例告訴我們，簡單的數學知識，數學模型，在物理學的應用中，生活實際中，甚至是尖端科技中都發揮著令人意想不到的巨大作用。雷達的精確定位，導彈成功擊中目標都離不開數學上的空間直角坐標系等有關知識；飛機在空中飛翔離不開伯努利方程，還有衛星的軌道的確定，建筑工程的設計等都離數學和三維立體空間。

正如羅巴切夫斯基所講的話一樣，數學在物理中確有很廣泛的應用。數學與物理的綜合應用以無限的魅力吸引著我們去探究。這讓我們在學習和研究的過程中學會很多方法，得到許多快樂。隨著我們對數學、物理學習的深入，學習的樂趣也將越來越多。

八、關于探究性學習的思考

針對“數學在物理上的應用”這一課題的研究，我們深刻地體會到，在高中，將各學科進行聯系對我們掌握好各學科的知識是很重要的。我們在高中階段的學科知識建構網絡中，物理和數學知識只是其中的一部分。由于物理和數學之間的不同特性，所以我們又必須將它們分開來學習。但經過探究性學習，我們發現如果將它們聯系起來在解題過程中往往會起到事半功倍的效果。

一道物理題應如何應用數學思想去解決是我們的研究方向。原來我們做題時并沒有意識到數學方法的巨大作用，給我們留下了太多的遺憾。經過我們進行探究，我們掌握了許多的數學方法在物理上的應用，使得解物理題的方法豐富多彩，也增添了很多樂趣。例如，向量、余弦定理的應用把抽象的代數計算滲入形象的幾何學中，簡單明了；數列知識使具有無窮因式的式子變成了簡單的加減乘除計算。更多的例子告訴我們，如果我們僅靠物理思維去思考解決物理問題，那么方法往往比較單一，解法不夠簡易，甚至做不出來，如果把它們與數學模型結合起來那么就完全不一樣，給我們帶來許多便利，而且十分有效。這樣跨學科的思想碰幢，在我們研究其他問題時也常常遇到。我們常常被某種思維定式阻礙我們的思考，這時我們應該以聯系的觀點看問題，正確把握事物間最根本的聯系，透過現象看本質，學會總結與應用，讓我們在學習上走得更遠。

經過這次研究，對我們的學科學習有很大的指導意義，它讓我們學會如何在學科之間找到聯系，用聯系的觀點來指導我們去學習各學科的知識。這有利于我們開闊思維，提高思考能力，也對開發我們的潛能有很大的幫助。這次的研究成果還可以幫助我們在以后的學習中，能夠更好更快地解決數學和物理問題，這對我們來說是一筆財富。同時，在研究的過程中親自查文獻，問老師，做練習，上網查閱等，通過多渠道獲取信息，鍛煉了我們查詢資料的能力；也讓我知道，當我們遇到困難時，要團結共戰，不灰心失望，堅持到底就能成功。同時讓我們感到充實，感到年輕人蓬勃的朝氣，也培養了我們獨立自主能力，使得我們意志更堅強。這在我們今后的學習生活工作中都將發揮巨大的作用。

當然我們的研究還有很多不足之處，我們學識淺薄，研究范圍不夠廣，還有很多知識我們都沒有涉及。數學還滲透在物理學的許多領域中，只是我們能力有限還不能進行研究。但是我們會在未來的學習生活中充實自己，憑著我們敢于研究和勤于研究的精神，相信定會取得更大的進步。

（責編 盧建龍）