高中數學教學中數學思想的應用

【摘 要】數學是思維的體操，特別是高中數學具有較強的邏輯性、抽象性及連續性，同時各部分之間互相聯系、互相滲透，就構成了一個相互交錯的立體空間。因此，在教學中應改變傳統的重結果、輕過程的教學模式，要培養學生解題思維的形成、發展。在教學中只有數學知識與數學思想方法并重、知識和思想方法相互促進，才能使學生更深刻地理解數學、用好數學。

【關鍵詞】數學 思想 教學 應用

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）07-0131-01

數學的思想方法是從數學內容中抽象概括出來的，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。目前普遍存在學生在課堂上聽得懂，但遇到問題卻不會解決的現象，這正是數學知識與思想方法脫節的結果。本文結合筆者的經驗，談談在高中數學教學中滲透數學思想的體會。

數形結合思想。在數學學習中運用“數”與“形”之間一種對應的關系來解數學問題的方法，有意識地將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機地結合起來。例如集合與集合的關系，如果能以數形結合思想為指導，借助圖形思考，不僅可以使各集合之間的相互關系直觀明了，而且便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合問題通過直觀的形象思維得以解決。

例：已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a

解：∵a<1，∴2a

在數軸上表示集合A，B，如上圖所示。

由B A，知a+1<-1或2a≥-1即a<-2或a≥ 。

由已知a<1，得a<-2或 ≤a<1。故a的取值范圍是

（-∞，-2）∪[ ，1）。

方程與函數思想。方程思想是從算術方法到代數方法中尋找等量關系的一種質的飛躍。函數關系是變量與變量間一種特殊的對應與變換。審題時要抓住題目的關鍵量，善于聯想、化歸，實現應用問題向數學問題的轉化。某工廠生產某產品，每件產品的出廠價為50元，其成本價為25元，在生產過程中平均每生產一件產品有0.5立方米的污水排出，為了凈化環境，工廠設計兩套方案對污水進行處理，并準備實施。

方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理一立方米污水所用原料費為2元，并且每月排污設備的損耗費為30000元。

方案二：工廠將污水排到污水廠統一處理，每處理一立方米污水需付14元的排污水。

問題：（1）工廠每月生產3000件產品時，如果你是廠長，在不污染環境又節約資金的前提下，選擇哪種方案？通過計算加以說明。（2）若工廠每月生產6000件產品，你是廠長，該如何決策呢？

解：設工廠每月生產x件產品時，依方案一的利潤為y1，依方案二的利潤為y2，由題意知：

y1=（50-25）x-2×0.5x-30000=24x-30000，y2=（50-25）x-14×0.5x=18x。

當x=3000時，y1=4200，y2=54000，∵y1

當x=6000時，y1=114000，y2=108000，∵y1>y2，∴應選擇方案一處理污水。

分類討論思想。它采取的是“化整為零，各個擊破”的策略。有關分類討論思想的數學問題在數學學習能很好地訓練人思維的條理性和概括性。歷年高考的重點，具有明顯的邏輯特點，一般覆蓋知識點較多，解分類討論問題需要有一定的分析能力和分類技巧，解分類討論問題的步驟：（1）確定分類討論對象：即對哪個參數進行討論；（2）對所討論對象進行合理的分類（分類是要做到不重復、不遺漏、標準要統一、分層不越級）；（3）逐漸、類討論：即對各類、類問題分類討論，逐步解決；（4）將各類情況總結歸納，得出結論。如已知A=-{x|-2≤x≤5}，B={x|k-1≤x≤2k+1}，求使A∩B= 的實數k的取值范圍。解這道題的策略：（1）分類討論主要環節之一是要確定分類的標準，標準的確定是靠對題意的理解思路及對解題的分析，本題的分類標準為B= 和B≠ 。（2）分類不能重復也不能遺漏，本題即易忘掉討論“B= ”。（3）歸納并得出結論不能少。

轉化與化歸思想。為了解題的方便，我們經常把所給問題進行形式上的變化，將未解的問題轉化成已有知識范圍內的可解問題。通過不斷的轉化，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，把不規范的問題轉化為規范化甚至模式化的問題，把復雜的轉化為簡單的，使本質被掩蓋的問題露出“廬山真面目”，使起初看來撲朔迷離的問題有了“主攻”的方向進而發現解決問題的具體方法。如已知對任意x∈[1，+∞），不等式x2+2x-a>0恒成立，求實數a的取值范圍。解這道題的策略是a

數學課程改革的目的是讓學生主動參與、積極探究、學有所成、學有所用。課堂教學中老師講、學生聽的單一結構，已不適用新課改的要求，在教學過程中，教師扮演的不僅是組織者的角色，而是引導學生獨立思考、積極探索、讓學生的主體性得到發揮的角色，要培養學生動手、動腦的能力。同時也要堅持不懈地貫徹數學思想方法。在具體的教學過程中，應不斷地進行總結和補充，有意識地進行這方面的轉化，使數學知識和數學思想方法相結合，使學生以積極創新的思想方法汲取知識，進一步提高分析問題和解決問題的能力。

〔責任編輯：龐遠燕〕