充分、必要條件之解析

摘 要：充分必要以及充分且必要條件是五年制高職數學的一個重要概念，對于如何正確判定這些條件的結論，從命題的條件和結論及正反出發結合案例進行了總結。

關鍵詞：充分條件；必要條件；結論

在求解、判斷充分條件、必要條件、充要條件時，對“條件”與“結論”的判斷容易混淆，分不清前后，搞不清楚到底向哪一邊推才正確，下面從兩個方面加以說明。

一、看清“誰”是“誰”的條件

如果①A是B的充分條件，則同時②B就是A的必要條件，①與②都是A？圯B，但在①中A是“條件”，B是“結論”，而在②中B是“條件”，A是“結論”。明確了“誰”是“誰”的條件，就不難對問題作出正確的判斷。

例1.α+β>4α·β>4是α>2β>2的什么條件？

解析：易知α>2β>2？圯α+β>4α·β>4，但反之不一定成立，例如取α=1，β=5，顯然滿足α+β>4α·β>4但不滿足α>2β>2，故α+β>4α·β>4是α>2β>2的必要但不充分條件。

點評：也就是說由α>2β>2？圯α+β>4α·β>4成立，但α+β>4α·β>4■α>2β>2

所以α+β>4α·β>4是α>2β>2的必要但不充分條件。

例2.（1993年上海高考題）“a+b>2c”的一個充分不必要條件是（ ）

A.a>c或bc且b

C.a>c且b>c D.a>c或b>c

解析：由a>c且b>c，由不等式的性質得a+b>2c

所以a+b>2c的充分不必要條件是a>c且b>c。

點評：可以說a+b>2c的充分不必要條件有很多，只有從選擇支出發，解題才比較容易。

在這里要搞明白答案C.a>c且b>c是a+b>2c的充分不必要條件。

二、注意“正”難則“反”思想在解題中的應用

例3.判斷p：x≠2或y≠3是q：x+y≠5的什么條件？

解析：此題直接判斷比較困難，我們采取“正”難則“反”思想，看它的等價命題，其逆否命題是：x+y=5是x=2且y=3的什么條件？

不難看出x=2且y=3？圯x+y=5成立，但x+y=5■x=2且y=3，所以x+y=5是x=2且y=3的必要不充分條件，

即：p是q成立的必要不充分條件。

點評：命題不易直接判斷時可轉換命題的形式，利用命題的等價性加以判定。

參考文獻：

盧強，任樹聯.數學.北京交通大學出版社，2006.

？誗編輯 趙飛飛