探索數學建模及求解方法

數學應用是國際數學教育的熱點與焦點，涉及實際情境的問題設置和解法，是檢測、評估數學教學質量和學生的數學素養，應用數學知識、觀點、方法處理實際問題的能力的有效舉措。筆者從現行教材出發，研習數學建模與求解方法，以構建數模教與學的和諧與統一，促進課堂教學改革與發展，充實數學校本教研內涵，提升教學效果。

函數模型及解法

借助數學探求科學認知和刻畫自然規律的過程中，往往出現最值（最大或最小、最高或最低、最費或最省、最優或最劣）等問題。如普通高中數學教材5中P112頁，“一段長36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個菜園的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？”

解法1：設矩形的一邊長為xm，另一邊為ym，則菜園周長為2（x+y）=36，菜園面積為xy.由算術平均數和幾何平均數間的關系得知：≤（x+y）/2=9，xy≤81.當且僅當x=y=9m時，Smax=81m2。

解法2：設矩形的長為xm，則寬為（18-x）m，面積S=x（18-x）=18x-x2 （0∠x∠18）.由二次函數的幾何性質可知：當x=9m時，Smax=81m2。

從數學情境中可以抽象出數學模型，利用模型的方法解決實際問題是個人知識的內化、能力的提升、數學素養的提高和拓展，也是數學教育的出發點和歸宿。

幾何模型及解法

人對客觀世界規律的認識是由感性到理性，又由理性回到感性的定勢，思維方式從而趨于直觀和形象化。定向思維、發散思維、創造思維都以這種形象思維作為基礎，幾何模型表述數形思想是形象思維的具體途徑。

如新課標人教版（數學A）中，“已知⊿ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，S是⊿ABC的面積，若a=4，b=5，S=5，求c邊的長度”。

解法1：三角形面積公式模型其中p=（a+b+c）/2，化簡得，c4-82c2+1281=0，c1=，c2=。所以⊿ABC的c邊的長度是或。

解法2：三角形面積模型 S=bh=absinC，作任意三角形⊿ABC，即5=×5h=×5×4sinc，sinC=/2，即角C=600或1200。由余弦定理或Rt⊿勾股定理知，c1=，c2=.故⊿ABC的c邊的長度是或。

幾何解析模型可以設置體積、面積、質量、重力等情境，利用空間、平面或數軸的維度進行幾何定位，確定幾何關系，建立幾何模型，解決相關數學實際問題。此類問題可以設置測繪等背景材料來展示。

三角模型及解法

數學語言既是數學思維的工具，又是數學思維的產物，把自然語言轉化為數學符號系統，并用專業的數學語言進行交流、思維，解決實際問題，三角模型就是最佳的例證。向量溝通了代數、幾何與三角，具有極其豐富的背景與內涵，在數學與物理學中有著廣泛的運用空間。如普通高中數學4中P100頁，“已知任意兩個非零向量a、b，試作=a+b， =a+2b， =a+3b。判斷A、B、C三點間的位置關系”。

解析：如果把b和a看作平面直角坐標第一象限正半軸的兩個坐標，則A點坐標為A（b，a）;B點坐標為B（2b，a）;C點坐標為C（3b，a）.則AB、BC、AC三條直線的斜率KAB=（yB-yA）/（xB-xA）=0，KBC=（yC-yB）/（xC-xB）=0，KAC=（yC-yA）/（xC-xA）=0。同理證明A、B、C三點在同一條直線上。

數學語言與自然語言相互轉化的過程中，襯托出諸多背景材料（源于生活），振動方程所構建的三角關系源于自然，并將為人類社會和改造大自然服務，這也是我學習數學所獲得的感悟。

數理模型及解法

數理模型用于描述客觀世界中許多事物發生變化規律的數理思想，具有較強的現實意義和傳承功效，也是中學數學建模的重要內容，是對數理活動的描白、拓展和特寫。如普通高中數學1中P63頁，“截止1999年底，我國人口約13億，如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口數最多能為多少？我國人口數達18億的年份是？”

解析：列舉法分析。經1年人口數為13（1+1%）;經兩年人口數為13（1+1%）2;… 經過x年人口數模型y=13（1+1%）x。當x=20時，y=13×1.0120≈16億。由模型y=13×1.01x變形為x=㏒1.01y/13，當y=18時，x=㏒1.01y/13==㏒1.0118/13≈33（年）。即經過20年后，我國人口數最多能為16億，2032年人口數可達到18億。

函數模型是一個統計量模式，受其定義域的限制和約束并賦意。教學中利用函數間的關系進行變形，既彰顯了函數間的內在規律，起到事半功倍的效果，也搭建了模型間互為因果的鵲橋，使學習者茅塞頓開，受到啟發。

不等式的建模

在浩瀚的數學長河中，等量關系并不能窮盡所有的數量關系，不等式彌補了這一缺陷，并用簡潔的數形關系反映了現實生活中的不等量關系。不同的不等量關系，需要建構不同的不等式模型來表述。如貼近生活的競賽游戲、個人收入與納稅、購物過程中的優惠與打折等，廣泛的不等量背景演繹出相應的不等量模型。

總之，探究數學模型就是把學習數學分析的過程轉化為學習數學分析的結果，并用之實現舉一反三、觸類旁通的神奇效果。如樹木的分杈、花瓣的數量、植物種子的排列、星辰的運轉、日夜的更替，都遵循了某些自然規律，我們把這些自然規律歸納成數形語言，抽象為由特殊到一般的數學模型，就可以充分利用自然規律，并對自然規律加以推演、評估，人為地加以控制和改造，造福于社會。按其規律確立數理模型，構建相應的函數關系式，并結合量綱等對其賦意，就能實現我們數學建模的初衷。

（作者單位： 寧夏隆德縣職業中學）