工程數(shù)學(xué)中利用洛朗級(jí)數(shù)求積分問題淺析

【摘 要】本文結(jié)合工程數(shù)學(xué)課程中利用洛朗級(jí)數(shù)求積分問題的實(shí)例，對(duì)學(xué)生在工程數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中容易混淆的求積分方法進(jìn)行了分析、比較與歸納總結(jié)，并且對(duì)于本課程中洛朗級(jí)數(shù)與其他章節(jié)之間的聯(lián)系作了詳細(xì)闡述，以供參考和借鑒。

【關(guān)鍵詞】洛朗級(jí)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)公式 留數(shù)

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）23-0061-02

工程數(shù)學(xué)課程是各個(gè)高校工科專業(yè)的學(xué)生在具有了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，為了能夠用更加方便的理論工具來處理工程中常見的問題而開設(shè)的一門課程。不同高校所開設(shè)的工程數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容與課時(shí)根據(jù)其實(shí)際情況都有所不同，中國礦業(yè)大學(xué)工程數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生的專業(yè)性質(zhì)制定了相應(yīng)的教學(xué)大綱，本課程只包含復(fù)變函數(shù)、場(chǎng)論和積分變換三部分內(nèi)容，共計(jì)48課時(shí)，線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)部分單獨(dú)開設(shè)課程。

關(guān)于工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容或者方法的改革與探討較多，既有對(duì)于教學(xué)方法、教學(xué)策略的探討，也有關(guān)于具體數(shù)學(xué)工具及應(yīng)用類的分析。筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)由于受本課程的課時(shí)限制以及學(xué)習(xí)方法不當(dāng)，對(duì)于本課程中計(jì)算復(fù)變函數(shù)沿著閉曲線積分問題的理解不夠深刻，各個(gè)章節(jié)之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)不足，所以促使筆者產(chǎn)生了拋磚引玉的想法，對(duì)于如何利用洛朗級(jí)數(shù)求積分問題，本文進(jìn)行了仔細(xì)梳理和分析。

在工程數(shù)學(xué)課程的復(fù)變函數(shù)部分仔細(xì)介紹了利用洛朗級(jí)數(shù)展開式來計(jì)算沿閉曲線復(fù)變函數(shù)積分，隨后又介紹了利用留數(shù)方法（即洛朗級(jí)數(shù)展開式中負(fù)一次項(xiàng)系數(shù)C-1）來計(jì)算沿閉曲線復(fù)變函數(shù)記分，很多同學(xué)由于這兩部分內(nèi)容前后相鄰并且都是需要計(jì)算C-1而混淆其不同之處。本文借助課后習(xí)題中的一個(gè)典型習(xí)題的多種解法，揭示上述兩種解法的不同點(diǎn)以及常見的四種解法的優(yōu)劣之處，以供參考和借鑒。

例題1：計(jì)算 ，其中C為正向圓周：

解法1：利用洛朗級(jí)數(shù)展開式，首先構(gòu)造解析同心圓環(huán)形區(qū)域：1<|z|<+∞（C包含于上述圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)部，且有相同圓心），雖然滿足洛朗級(jí)數(shù)展開條件的圓環(huán)形區(qū)域是不唯一的，包括圓心及半徑都可以不同，但是為了計(jì)算方便，我們經(jīng)常選取同心圓環(huán)。被積函數(shù)在上述圓環(huán)內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開式可依據(jù)下式計(jì)算得出：

通過比較上述兩種解法，我們發(fā)現(xiàn)雖然都是需要將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)，但是解法1只需要在圓環(huán)（不一定是去心鄰域）內(nèi)展開1次，圓心可以有不同選擇（解法1只是為了計(jì)算方便才選擇圓心為0，也可以選擇其

他解析點(diǎn)作為圓心）；而解法2在C內(nèi)部的每個(gè)奇點(diǎn)處的解析去心鄰域內(nèi)都要展開，且圓心必為內(nèi)部對(duì)應(yīng)奇點(diǎn)。如果不仔細(xì)觀察上述兩種解法的不同點(diǎn)，同學(xué)們非常容易混淆兩種解法的不同之處。

當(dāng)然，除了上述兩種解法之外，我們還有另外的解法可以處理上述沿閉曲線積分的問題，如：

解法3：利用柯西公式及高階導(dǎo)數(shù)公式。被積函數(shù)可以拆項(xiàng)為：

解法4：本解法與解法2的相同點(diǎn)都是利用留數(shù)來計(jì)算，但是解法2是利用洛朗級(jí)數(shù)展開式的負(fù)一次項(xiàng)來計(jì)算留數(shù)，而實(shí)際上大部分常見孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)都可以使用更簡(jiǎn)潔的留數(shù)計(jì)算法則來計(jì)算：

綜合比較上述四種解法，各有其優(yōu)缺點(diǎn)。由于洛朗級(jí)數(shù)展開的方法變化較多，某些函數(shù)甚至無法用常用方法展開，所以解法1和2有一定局限性。表面上看起來解法3最簡(jiǎn)潔，但實(shí)際上能夠利用柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)解決的積分只占很少的一部分，因?yàn)闈M足柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)的被積函數(shù)類型是有非常強(qiáng)的限制條件的。解法4和解法2均為利用留數(shù)計(jì)算，但相對(duì)來說因?yàn)橛鞋F(xiàn)成的留數(shù)計(jì)算法則可以利用，所以解法4要相對(duì)更常用一些。當(dāng)然這也并不是絕對(duì)不變的，在某些情況下，也完全有可能解法2比解法4要更簡(jiǎn)單，下面這個(gè)例子就印證了這一點(diǎn)。

實(shí)際上如果在本題中把z=0極點(diǎn)的級(jí)別看高了，即將其看成6級(jí)極點(diǎn)，利用留數(shù)規(guī)則來計(jì)算卻會(huì)簡(jiǎn)單很多。

這個(gè)結(jié)果也是對(duì)的，而且這并不是偶然的，課本上說這個(gè)結(jié)論可以從留數(shù)計(jì)算規(guī)則的推導(dǎo)過程中得出，即如果把極點(diǎn)的級(jí)數(shù)看高，留數(shù)計(jì)算結(jié)果仍然正確。

因此，同學(xué)們?cè)谇蠼庋亻]曲線復(fù)變函數(shù)的積分時(shí)應(yīng)該仔細(xì)分析被積函數(shù)和積分曲線的特征，根據(jù)具體題目靈活選擇合適的求解方法。就筆者看來，在工程數(shù)學(xué)課程中計(jì)算沿著閉曲線的復(fù)變函數(shù)積分時(shí)大家首要應(yīng)該掌握的是與留數(shù)有關(guān)的解法4和解法2，因?yàn)榱魯?shù)的計(jì)算不僅在復(fù)變函數(shù)部分很重要，而且在本課程的最后與工程技術(shù)應(yīng)用緊密相關(guān)的Laplace變換部分，很多Laplace逆變換的計(jì)算也是通過留數(shù)計(jì)算得出的。

總而言之，洛朗級(jí)數(shù)展開方法并不僅僅是工程數(shù)學(xué)課程中一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分，對(duì)于洛朗級(jí)數(shù)展開的詳細(xì)分析不但有助于我們分析理解復(fù)變函數(shù)奇點(diǎn)的分類，還有助于我們計(jì)算不同類型奇點(diǎn)的留數(shù)，進(jìn)而可用來求Laplace逆變換等。相信通過本文對(duì)于上述4種解法優(yōu)缺點(diǎn)的詳細(xì)分析與比較，一定能夠幫助讀者們進(jìn)一步理解工程數(shù)學(xué)中洛朗級(jí)數(shù)展開方法在求解沿閉曲線積分計(jì)算中所起到的重要作用。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕