高中數學教學中拓展學生思維空間途徑的探討

摘 要：數學教學主要是數學思維活動的教學。在高中階段的教學中加強學生的數學思維能力的培養，有利于發揮數學教學發展學生思維的教育功能，同時也可促進數學教學質量的提高。對此，筆者認為探討課堂教學拓展學生數學思維空間的途徑有著一定的必要性。

關鍵詞：高中數學;學生思維;拓展途徑

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）04-021-2

一、在引入環節拓展學生數學思維空間

新課引入環節的設計合理與否直接決定著一堂數學課能否順利地開始，決定著課堂能否具有活躍融洽的研討氛圍，直接影響著后續的概念、法則、解題等的教學，更是學生思維能否打開的前提。

引入環節設計的合適與否，首先取決于引入是否充分考慮了學生原有的認知基礎，設計的情境是否貼近學生的生活與學習;其次，取決于引入是否能有效引出預設的問題，即該引入不會將學生的思維導向其他與本堂課教學無關的內容。設計該引入優越性必須有明確體現，以確保引入的必要性和實效性。有些老師在引入環節上過于花哨或急于得出結論，不能激起學生思維的浪花，更談不上調動學生學習的積極性，可謂費時費力而效率低下。引入環節是知識的發源點，引入自然才有可能讓知識在課堂上自然流淌，才能激發學生對新知識的迫切需要。為此，引入中創設的情境要簡約而有效，要讓學生把更多的時間和精力花在探究上，同時讓學生覺得熟悉和有實際研究價值，激發學生更強烈的研究欲望。筆者調查發現，“引入”通常有三種有效方式：

1.基于前后聯系的復習引入

通過復習舊知識，提出舊知識解決不了的問題，從而造成學生心理沖突，得到新知識的生長點，引出學習新知識的必要性。或者從已學知識，尤其是最近接觸的具體問題中概括發現規律，獲得新知識。這種引入方式充分尊重了學生原有認知基礎，溫故知新，不僅便于學生思維的打開，更有利于學生養成前后聯系看問題，并將所學知識放入所在知識體系中去認識的良好學習習慣，能促進學生思維深刻性和廣闊性的養成。

2.基于學生熟悉的實際生活設計情境引入

教師結合學生日常生活、生產中的實際問題（包括一些時事要聞），引入新的問題，從而轉入新的概念或定理法則的教學。事實上，學生在現實生活中已有許多數學知識的體驗，課堂上的數學學習其實是他們生活中的有關數學現象和經驗的總結和升華。因此，教師在引入時應根據學生、教學內容等具體情況，努力營造一種接近真實的情境，讓學生在自然的情境中“做數學”，去解決問題并獲得體驗。這樣的引入能促使學生捕捉生活現象，采集生活實例，引導學生善于思考生活中的數學，把課堂學習延伸到課外。

3.由學生的活動引入

通過學生活動（操作、觀察、歸納等）提出要解決的問題，引出新授課的內容。這里的引入旨在引出數學知識，使新授內容的出現更加自然和合理，而不像一般的“問題情境”旨在提出問題。借助引入的學生活動不能太復雜，和上面創造問題情境一樣，能簡潔自然地引出授課主題即可。好比物理化學中的實驗那樣，學生通過親身操作體驗而獲得的知識更具真實性、直觀性和趣味性。一方面將數學抽象問題通過具體化進行形象理解，培養了形象思維;另一方面，學生由特殊到一般進行歸納猜測，培養了抽象邏輯思維和直覺思維。

二、在概念教學中拓展學生數學思維空間

1.設置情景，促進概念的合理建構

數學概念是深入進行數學思維的基礎，而概念本身的產生也是一段生動的思維過程，故而可以也應該作為有意義的數學思維教育素材。在概念教學過程中首先要注重充分暴露構造研究對象的過程、揭示對象本質屬性的過程以及跟之前所學舊概念之間的矛盾。這樣就可以幫助學生在概念教學中弄清概念建立的必要性，并通過探究活動得出概念的可能性與合理性。建構概念需要選擇適宜的數學原型，要利用數學原型歸納概括概念。為此，每節新授課要從學生最為熟悉的生活背景、知識背景、數學知識背景等出發，設置最能體現新授概念本質特征的知識背景，讓學生入境體驗。由于高中概念對學生而言都十分抽象，新授課教學往往從概念的一般性出發，探討概念的特殊情形。即通過學生熟悉的具體例子，從特殊到一般，從局部到整體來解釋概念的本質特征，這在新授概念教學中，是學生容易接受的一個學習過程。這里創設的情境力求簡潔明了，關鍵是能幫助學生完成知識上的過渡，呈現概念形成過程，幫助學生進行知識建構的作用。

2.剖析概念，把握概念的不變內涵

學生對概念僅有一個初步建構的認識，在剖析概念時，最好的方法是能讓學生借助上述建構概念的過程發現問題，嘗試借助具體實例對概念的關鍵點進行解釋，教師從旁協助分析，這樣有利于培養學生提出問題、分析問題的能力，能促進思維的嚴密性。如果概念比較難剖析，教師可將需要關注的問題和關鍵點融入到若干問題中，請學生思考。這樣的設計比直接告知概念的注意事項更能提高學生的認知參與度，自然學習效果佳。在此過程中，如果能從概念的本原出發，進行演繹推理，得出一些基本的結論，如概念衍生出來的性質、定理、公式等，就更能突出不變的概念內涵，利于挖掘概念蘊含的基礎知識和基本方法，也能進一步拓寬學生的思維空間，促進思維的廣闊性和敏銳性。

3.變換問題，在實踐中深化對概念的理解

基于對概念的建構和剖析，學生對概念已經有比較清晰的認識，此時對概念的應用能讓學生通過具體問題加深對概念的理解，能及時發現并糾正錯誤理解，是對概念建構和剖析所得的知識和方法的檢驗和鞏固。建構和剖析概念后的練習，一般是圍繞某一具體內容（重點、難點、關鍵點）進行的單項簡單練習，可以從概念的正面和反面進行比較和鑒別，或者同其他知識一起在綜合環境中加以鑒別和聯系。這種練習可及時糾正學生的錯誤認識，同時讓正確理解及時留下深刻的印象，達到強化、鞏固、加深理解的作用。實踐發現這些練習的形式可以多樣一些，可根據學生程度設計有梯度的練習，也可根據教學需要對概念進行簡單的外延，但這些都必須以鞏固和深化概念為直接目的，不可過早出現一些和其他知識結合的綜合性問題，沖淡主題。

三、在法則（定理）教學中拓展學生數學思維空間

在教學中教師不能局限于介紹定理和法則的結果，而要讓學生經歷他們的形成過程，即定理和法則被發現、被證明的思維過程，這其中蘊含著很多利于思維發展的核心思想方法。

對于定理、法則的教學，教師應注意讓學生借助已有的認知基礎，比較自然地發現規律，并對這一規律進行歸納證明，通過應用來認識它們的本質特征，檢驗其適用范圍。為此，定理、法則的教學主要注意以下三個方面：

1.讓定理、法則的引入和揭示自然化

基于拓展學生思維的目的，定理、法則的引入和揭示必須尊重學生原有的認知基礎。在設計情境時力求從原有的知識結構出發，尋找定理、法則在原有知識結構中的地位以及和與其他知識的聯系。常見的方式有通過情境的創設形成認知沖突，引發探究;從具體實例，特殊到一般歸納猜想;借助類似問題中猜測結論等。這些與適應性教學原則是十分吻合的。

2.突出定理、法則的推導過程

定理、法則的推導過程是數學思維過程的一種重要表現形式，也是一個典型的數學解題過程，而且這個解題過程比一般的解題練習更為完整，能讓學生自己發現問題，更利于學生思維空間的拓展。通過定理、法則的推導過程，幫助學生揭示它們與現有知識結構的邏輯聯系，并從中體驗豐富的方法論意義，促進學生對數學知識、數學思維方法和技巧的學習。這個過程要以結構性原則、過程性原則為指導，確定推導過程中的重點和難點，引導學生用發現性、啟發性、反思性等策略來化難為易，發揮難點在發展學生數學思維能力、提高數學素養方面的作用。

3.在實踐中深化對公式和定理的認識

定理和法則的引入和推導過程讓學生對定理和法則的合理性、嚴密性有所認識，但對它們的本質特點還要通過具體應用來逐步深入體會。通過安排合理的練習可以體會定理、法則中蘊含的條件與結論間的邏輯關系，分析具體公式的結構特征、適用范圍，以及它與那些知識是類似的，它們之間的聯系和區別在哪等等。只有通過實踐檢驗才能讓學生確信定理、法則的合理性、優越性和局限性，在解題時才能注重條件與結論的比較分析，合理選用定理、法則來解決具體問題。