問題驅動在數學解題中的應用

摘 要：數學問題的解決是高中數學教學的主要內容，教會學生如何解題是課堂教學的主要任務。解題的關鍵是分析問題、找到解題方法，在分析問題的過程中要求學生找出已知條件和所求問題的聯系，借助中間的輔助問題的驅動完成解題。

關鍵詞：問題驅動;輔助問題;隱含條件;問題結構;等價轉化

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）04-042-1

案例一：問題來源于隱含條件

例：（蘇教版教材必修四P112第12題）在三角形ABC中，已知sinA=35，cosB=513，求cosC.

這道題目看似簡單，但是學生在做題中出現的問題也是比較多的，下面是兩類學生的解題過程。

模板1、解：cosA=1-sin2A=45，sinB=1-sin2A=1213

cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665

模板2、解：因為A，B，C為三角形內角，所以cosA=±1-sin2A=±45，sinB=1-sin2A=1213，當A∈（π2，π）時，cosA=-45，

所以cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=5665，

當A∈（0，π2）時，cosA=45，

所以cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665

通過分析他們的解題過程我們不難發現，學生對這道題目的解題思路還是比較明確的，都知道借助誘導公式和基本關系式。但很多學生錯在了沒有考慮角的范圍或弄錯角的范圍。第一類學生根本就沒有確定角的范圍的意識，也就是他們沒有找到新問題引導著他們去解決。第二類學生雖然想到了輔助問題，但輔助問題的選擇不正確。

在看了正確的解題過程之后，有學生分析：我在做這題時，在求cosA時出現了問題，兩個結果到底取哪一個不好判斷，這就產生了新的問題，如何判斷角的范圍。如果只根據已知中的角度是沒法判斷的，已知條件中只告訴我是三角形的內角和三角函數值，這個條件提醒了我是不是可以用函數值進行比較，我就按照這個思路做下來的。

老師分析：通過這道題目，我們發現正確判斷角的范圍是解決這道題目的關鍵，這里求cosA時出現了兩個結果，這時就產生了一個新的問題，即取正、取負、還是兩個結果都可以。就是這個新問題驅動著我們判斷角A的范圍。

案例二、問題來源于結構特點

在我們的數學教學中經常會有一些特殊的數學模型或數學問題的結構，這些模型或結構往往代表著一種解題思想或解題方法，正確地利用這些模型可以驅動著我們分析和解決問題。

例：若實數x，y滿足log2[4cos2（xy）+14cos2（xy）]=lny-y2+lne22，則ycos4x的值為多少？

分析：學生看到這道題目時感覺無處下手，不知道從哪方面考慮，一個方程兩個未知量是無法直接求出x，y的。觀察等式發現左側的式子可以和我們所熟悉的不等式聯系起來，不等式是我們常用的求最值的一種工具。右側的式子含有對數函數，可以用導數求最值，這時就可以用最值把左右兩個式子聯系在一起，這樣就產生了一個新的問題求最值，這個新的問題就驅動著我們去解題，在求最值的過程中就會涉及到等號成立的條件，這樣就會一步一步地引導著我們得出結果。

案例三、問題來源于轉換過程

在數學解題中我們經常用到等價轉化，所謂的轉化思想是指在對問題做細致觀察的基礎上，展開豐富的聯想，把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題，借助舊知識、舊經驗來處理新問題的一種重要的思想方法。在轉化的過程中會引入一些新的問題，這些問題往往成為驅動我們解題的工具。

例：已知函數g（x）=a（x-1）ex-ax+bxex，a，b∈R，且agt;0。

（1）當a=1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值;

（2）設g′（x）為g（x）的導函數，若存在xgt;1，使得g（x）+g′（x）=0成立，求ba的取值范圍。

分析：（1）是一個恒成立問題，這類問題我們通常采用參數分離或轉化成最值問題解決。一般情況下我們首選參數分離的方法，因為g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，等價于b≤h（x）=x2-2x-xex在x∈（0，+∞）上恒成立，即又等價于b≤hmin（x）在x∈（0，+∞）上恒成立。這一問的最終落腳點落在了求函數的最小值上。學生如何才能思路清晰地分析、完成這一問題呢，筆者認為這需要一系列的問題引導、驅動著我們進行思考。就像這一問題要求b的最大值，筆者就希望看看b到底是什么樣的一個東西，這就驅動著我們對式子進行變形。變形得到b≤h（x）=x2-2x-xex在x∈（0，+∞）上恒成立，這個恒成立問題進一步驅動我們分析思考，最終把問題轉化到求函數最值。（2）解題思路和（1）相似，都是有所求問題驅動著我們對關系式進行等價變換，ba=2x3-3x22x-1（xgt;1）。通過變換的結果可以驅動著我們考慮右側關系式的取值范圍，最終得出ba的取值范圍。

數學解題的關鍵是能夠從已知條件和所求問題中間找到可以驅動我們解題的輔助問題，正確的輔助問題可以快速有效地驅動我們成功解題。如果輔助問題選擇的不正確，這就可能把我們的解題思路帶偏，最終導致解題失敗。