淺談行列式在求解線性方程組中的應用

摘 要：行列式是現行高中普通課程標準中新增加內容，目前有10多個省高考題中涉及行列式。本論文主要研究行列式在中學數學的應用，給出了行列式的發展史及基本性質，并從立體幾何、平面幾何、解析幾何、因式分解、不等式、方程、分母有理化、數列、三角函數等方面闡述行列式在中學數學中的廣泛應用。因此行列式在解決中學數學的問題具有不可替代的作用。

關鍵詞：行列式；求解；線性方程組；應用數學課程標準體現了基礎性、多樣性和選擇性，突出數學的人文價值，重視增加了數學建模、數學探究、數學文化等內容，將數學置于一個更廣闊的景中，進一步拓展學生的視野。崔俊芝院士建議高中數學應該重視學生數學思維能力的培養，重視數學思想和方法的形成過程，讓學生既學習數學知識，又學習數學思想，學習用數學知識和思想表達與解決現實世界一般問題的方法和技能。

一、行列式理論研究

1.行列式理論發展史。1683 年，日本數學家關孝和在《解伏題之法》中第一次提出了行列式這個概念.該書中提出了 2 2，3 3乃至 5 5的行列式，行列式被用來求解高次方程組。 1693 年，德國數學家萊布尼茨從三元一次方程組的系統中消去兩個未知量得到了一個行列式.這個行列式不等于零，就意味著有一組解同時滿足三個方程。由于當時沒有矩陣這個概念，十九世紀五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數學研究中。行列式和矩陣之間的密切關系使得矩陣論蓬勃發展的同時也帶來了許多關于行列式的新結果。萊布尼茨用數對來表示行列式中元素的位置：ij代表第 i 行第 j 列。

2.行列式的現代理論。定義1由 1，2，3，……，n組成的一個有序數組稱為一個n級排列。定義2在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。

二、行列式在求解線性方程組中的應用

行列式是現行高中普通課程標準（實驗）中新增加內容，行列式作為高等代數的基礎內容安排在中學數學課程中為高中學生理解數學基本原理、思想、方法，培養學生數學知識的遷移能力，進一步學習提供必要的數學準備.行列式作為一種重要的數學工具引進，從更高的角度、更便捷地解決了中學數學中的問題.

1.應用行列式解決空間幾何問題。中學數學必修4和選修2-1已經針對平面向量和空間向量有了較為深刻的研究，新課標要求學生掌握空間向量的線性運算和數量積，在此基礎上我們引入空間向量的外積和混合積，探尋行列式的幾何意義，以新的視角去認識向量與空間幾何的緊密關系，開辟新的解題思路和方法，為初等數學和高等數學的銜接做好鋪墊。

2.行列式在平面幾何中的應用。一些平面幾何問題，按照傳統的中學數學解題方法，一般比較困難，利用、行列式的知識解題可以將復雜的理論問題轉化為簡單的計算問題.

3.行列式在解析幾何中的應用。利用齊次線性方程組有非零解的充要條件這一理論，能給出中學解析幾何中直線方程、圓錐曲線方程等的行列式形式。

三、行列式在中學代數領域中的應用

每個多項式都可以表示成幾個多項式的和或者差，而每個多項式又可以表示成幾個多項式的乘積，因此利用行列式的定義，就可以將任一多項式表示成一個行列式，進而利用行列式的性質對其進行分析.例如，設任一個多項式為 F，它總可以表示成為F = PQ - MN，其中 P ， Q，M，N為多項式，于是F=。

1.應用行列式分解因式。應用行列式進行分解因式重在構造，利用行列式的性質進行運算，以使得可以提取公因式.

3.應用行列式求解方程。在中學數學中詳細介紹了一元二次方程的解法，而學生要解決未知數含根式或高次的方程就需要較強的解題技巧和思維能力，而采用行列式這個有用的數學工具去解決這類問題就可以取得事半功倍的效果。

四、結語

隨著新課程的開展，高等數學的思想方法在高中數學中滲透越來越深.行列式作為高等代數中的一個重要理論與重要工具，從更高的角度研究高中數學中的問題，將使學生從中學的解題思維定勢中解放出來，用更廣闊的眼光看中學數學問題.為了進一步地培養學生對學習數學的興趣，行列式在中學代數與幾何兩個方面的應用，將高中數學知識融會貫通，同時發展學生發散思維，培養學生知識的遷移能力。

參考文獻：

[1] 李其勝.行列式在初等數學中的若干應用[J].萍鄉高等專科學校學報，2007.

[2] 凌瑞官.行列式在數學解題中的應用[J].湖州師專學報，2003.