撥云見日 變“誤”為“悟”

摘 要：數學學習是一個長期而復雜的過程，而且作為一門基礎學科，數學課堂中發生的錯誤相對其他學科而言，更顯得經常而頻繁。在新課程教學觀中，有一個被普遍認同的法則即“錯誤也是一種資源”， 這種錯誤往往具有很大的可開發性和利用價值。筆者在教學過程中，通過鼓勵質疑、嘗試錯誤、挖掘錯誤、利用錯誤、淡化錯誤和整理錯誤的實踐方法，幫助教師轉變對錯誤的觀念，并利用錯誤，挖掘文本內涵，培養學生的承挫能力、反思能力和舉一反三的能力。從而使學生觸類旁通、享受矯正錯誤發現新知的快樂。

關鍵詞：課堂；錯誤；反思

一、問題的提出

新的課程改革倡導新的課程觀，它要求教師要充分挖掘課程資源。教材是實現教學目標、實施教學的重要資源。但它卻不是唯一的資源，教學中的錯誤就是一種重要的課程資源，錯誤伴隨著教學的始終，它有時發生在教師方面，有時發生在教材本身，有時發生在學生方面。善于挖掘并運用形形色色的錯誤，將會給課堂教學帶來蓬勃生機與活力。恩格斯曾說：“最好的學習就是在錯誤中學習。”讓學生經歷錯誤，認識錯誤，糾正錯誤才可能更好地防止錯誤。教育心理學家也認為，錯誤就是通向成功的階梯，學生犯錯的過程應看作是一種嘗試的過程。通過不斷的嘗試，學生的認知水平才可能得以不斷的提升。所以，錯誤并不可怕。

在實際教學中，許多數學教師視錯誤為禍害。老師們通常更多看到的是錯誤的消極方面，因為它不符合教師的教學預設，阻礙了教學進度，因而我們對學生的錯誤處置或表情冷漠，或斥責批評，不但沒有使學生的錯誤得到改善，反而挫傷了學生的積極性和自尊心，長此以往，學生非常擔心出錯，在學生眼中，錯誤意味著失敗，意味著恥辱，上課也總是擔心被提問，更不敢在課堂上主動發言，影響了學習的效果。教師們也都在“努力”不讓學生犯錯。即便是面對學生有價值的錯誤，教師通常采取回避的態度：要么輕易否定、不予理睬，并叫其他同學作答，直至得到教師滿意的答案為止；要么因沒聽清學生的想法而草率解釋，并把正確答案再講一遍，直至學生“認可”為止！過度地防錯、避錯，缺乏對錯誤的欣賞與容納，使學生的好奇心、求知欲以及大膽嘗試的探索意識被壓抑乃至被扼殺，所伴隨生成的個性特征和思維特征必然是謹小慎微、害怕出錯。一條缺少岔路的筆直大道，使我們的學生失去了很多觸類旁通的機會，同時也失去了矯正錯誤和發現新知的快樂。

錯誤資源化研究在數學領域研究開發較早，研究也較鼎盛，取得了令人矚目的成績，效果自然是很明顯的。特級教師華應龍多年研究“差錯資源化”，他主張“課堂因差錯而精彩”，讓學生從“誤”到“悟”。他還說“錯了，也不白錯，抓住“她”好好欣賞，看看能從中學到些什么！”本課題將針對高中數學教學中產生的錯誤資源進行一些有益的嘗試、探索與研究。

二、研究的任務

1.基本概念詮釋——錯誤資源的概念

課程資源是形成課程的要素來源及實施課程的必要條件，教學過程是一個動態生成資源、提升資源的過程。新課程標準指出：教師要充分尊重學生的個體差異，關注每一個學生的發展，允許學生憑著自己喜歡的方式進行個性化選擇。但由于學生的認知方式與思維策略的不同，以及認知水平和學習能力的差異，因此在我們的數學課堂中，經常會有學生出錯。錯誤中包含了認知個體大量的信息和已有的經驗，客觀地反映了個體的心理特點，所以我們要用資源的眼光來看待這些的錯誤，這種錯誤往往具有很大的可開發性和利用價值。本文所謂學生錯誤資源是指課堂教學和學生的作業中憑著自己已有的知識經驗對某一知識作出淺層的、有失偏頗的錯誤判斷而生成的，那些能通過師生雙邊互動，在集體識錯、思錯、糾錯過程中提升學生能力的課程資源。

2.研究的理論依據

（1）建構主義學習觀： “學習并非學生對于教師所授予知識的被動接受，而是以其自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構。”學生的認識必然有一個深化和發展的過程，包括出現一定的錯誤和反復。為此，對于學生學習過程中所發生的錯誤應當采取更為理解的態度，不應簡單地予以否定，而應努力發現其中的合理成分和積極因素。學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提。有效幫助學生糾正錯誤，教師就應十分注意如何提供或創造適當的外部環境來達到這個目的。

（2）英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”每個學生都有分析、解決問題和創造的潛能，都有一種與生俱來的把自己當成探索者、研究者、發現者的本能。在高中數學教學活動中，學生是活動的主體，而學生犯錯的過程就是一種嘗試和創新的過程。課堂是學生出錯的地方，出錯是學生的權力。

（3）葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中提到：“學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源。”課堂教學是一個動態生成的過程，學生的學習錯誤具有不可預見性，而這樣的錯誤又往往是學生思維的真實反映，蘊含著寶貴的“亮點”，讓學生充分展示思維過程，探求其產生錯誤的內在因素，則能有針對性地展開教學，有利于學生的自主建構。

（4）錯誤分析理論認為：學習者犯錯誤是學習過程中的一種正常現象，犯一些錯誤是學習中的必經階段。學生學習的過程本身就是一個漸進的、需要長期的積累和實踐的、不斷犯錯的過程。因此，作為一門外語，學生在學習數學的過程中勢必會出現一些錯誤，教師要及時發現他們的錯誤，并給予指導和幫助，讓錯誤順化學生的知識結構，將正確理解融入其自身的知識體系。

三、錯誤資源的有效教學策略

在數學教學活動中，學生是活動的主體，而學生犯錯的過程就是一種嘗試和創新的過程。教師只有具備“主動應對”的新理念，變學習錯誤為培養學生創新思維的契機，才會看到錯誤背后的成功，讓其發揮出應有的價值，折射出燦爛的光芒。數學學習的過程是一個再創造的過程，對待錯誤教師應留給學生充分“講理”的機會，順應學生的思維，挖掘錯誤背后的創新因素，細心呵護學生創新的萌芽，適時、適度地給予點撥和鼓勵，使其茁壯成長，為課堂教學增添生命的活力。

1.正視錯誤，顯露真實課堂

在學習過程中，正確有時很可能是一種模仿，可錯誤卻是學生的一種學習原生態，是最真實的學習寫照。有一些老師在課堂上只想聽到正確無誤的答案，不管過程，只管結果。

案例一：細節1：空集 易忽視地帶：集合運算。

例1：已知A={x|x2+（p+2）x+1=0}若求實數p的范圍。

錯解： A中的元素為負數或零。

錯解剖析：這種解法不全面， 作為一個特殊的集合，表示沒有任何元素的集合，它同樣是A的一種可能性。

細節2：直線方程中的斜率易忽視地帶：用直線的點斜式或斜截式方程解題。

例2：從圓外一點（2，3）向圓引切線，求切線方程。

錯解：設切線方程為

依題意得：

切線方程為

錯解剖析：這種解法的錯誤在于用直線的點斜式存在漏洞，忽視了斜率不存在的情況。當所求切線的斜率存在時，同上。當所求切線的斜率不存在時，此時也與圓相切。學會作圖協助解決問題。

細節3：題設的幾何條件易忽視地帶：利用圓錐曲線的定義求解。

例3：已知是F1，F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離。

錯解：雙曲線的實軸長為8，由雙曲線的定義得

錯解剖析：此解答解題思路正確，推理符合邏輯，但結論卻不正確。仔細分析條件，我們可以看出由于點P到焦點F1的距離等于9，所以點P應在雙曲線的左支上，因為雙曲線的右支上的點到焦點F1的最短距離等于10，所以此題只有一個解。

2.鼓勵質疑，捕捉課堂生長點

美國教育家布魯巴克說：“最精湛的教育藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題”。質疑既是學生主動求知、主動學習的生動體現，也是培養學生創新品質的重要途徑。在課堂教學中，教師要鼓勵學生超越課堂，超越文本，超越教師，標新立異、獨劈蹊徑，反常規地思考，要重視學生的質疑問難，善于把握學生的提問，在學生的質疑中捕捉到課堂生成點。

案例二：課堂片段：已知無窮數列{an}前n項的和sn=（an+2）2，試問滿足題設的數列{an}有多少個？證明你的結論。

經過一番探索和思考，大多數學生得到了以下解法：

sn=（an+2）2 sn+1= （an+1+2）2

sn+1- sn= （an+2）2-（an+1+2）2

8an+1= an+12+4an+1- an2-4 an

（an+1+an）（ an+1- an -4 ）= 0

an+1+an=0 an+1- an = 4

由題設知a1 = 2

于是數列是以2為首項，公比為-1的等比數列或公差為4的等差數列。因此，滿足題設的數列有兩個，其通項公式分別為an=2（-1）n-1或an=4n-2。

至此，大家似乎都覺得可以完美收場了，但我反常的沉默誘發學生疑神疑鬼。不久，果真有學生另劈蹊徑，提出質疑：這樣已得出至少有3個數列了，按照這種方法大膽預測：滿足題設的數列有無數個。

此時此刻，平靜的課堂一下子又沸騰了，大家覺得前面的解法似乎有問題，但一下子又很難發現其破綻，可謂“此中有真意，欲辯已無言”。事實上從特殊到一般的探究，容易得出滿足題設的數列有無數個。怎么防止類似的錯誤？通過大家討論共同認為：對數學問題中的“關鍵詞”，如“或”、“且”、“非”、“至少”、“至多”等，首先一定要通過分類列舉法、數形結合思想以及從特殊到一般的策略等，對數學中的隱含意義進行研究，弄清本質意義，才能防止類似的錯誤發生。

【反思】：案例中，學生以敏銳的觀察和思維發現了這個“可疑”之處，也在思考著如何解決這些疑惑，教師可以從學生“有疑”處入手，引導學生進行驗證研究，在研究的過程中伴隨著已有問題的解決與新的問題的不斷地生成，讓學生在爭論中“釋疑”，而且學生的認識在發展，體驗在加深，思維活起來。經歷了這樣自主的學習過程，學生獲得的不只是知識，還有發現的喜悅，探究的興趣，頓悟的驚喜，思考的快樂。因為學生提出問題，提出自己的疑惑，學生的學習不再是一種異己的外在的力量，而是一種發自內心的精神解放運動。

3.嘗試錯誤，培養承挫能力

現代教育心理學認為：學生在學習新知識時，受理解和認知能力的限制，有個從片面到全面，從膚淺到深刻的過程，即所謂的內化過程，在內化過程中總會產生這樣或那樣的知識盲點和認知缺陷，這是需要從反面依靠“錯誤”來充分暴露，有些知識甚至于“非錯而不能樹正，非錯而難以求真”。所以，教師在教學中根據教學內容的需要和學生的認知特點，利用教育心理學中的“嘗誤原理”，多創設一些錯誤情景，讓學生去嘗試錯誤，以增強對知識的體驗、理解與鞏固，培養學生的批判性思維和承受挫折的能力。在作文教學中我屢屢嘗試以呈現學生作文中的典型錯誤的形式，促進學生寫作能力的提高。下面我以習題講評課中其中一堂課為例做展開：

案例三：習題講評課

課堂案例：設是二次函數，若的值域是，則的值域是（ ）

A、 B、 C、 D、

正確思維走向：思路一：已知復合函數的值域是，可以確定的取值范圍（注意：未必是的值域），結合是二次函數這個條件，就可以確定的值域了。

思路二：作為選擇題，直接由選項中選擇，采取排除法。為二次函數，所以由的值域可直接排除A，B選項，將C，D選擇一個分析，若選擇C分析，則由的值域得到取值，所以就是答案C；若選擇D分析，則取值，不符合，所以排除D即可。

題目簡解：要使的值域為，則t的取值范圍是，又因為為二次函數，開口要么向上要么向下，即的值不可能同時取到，結合選擇支可知的值域只能選C

思維受阻表現：（1）復合函數與分段函數結合，形式比較繁瑣，定義域和值域的關系也很復雜，也許產生了畏懼心理；（2）是二次函數，但是具體形式并不明確，感覺束手無策；（3）由的定義域求的定義域這類問題還是非常熟悉的，但本題卻是求值域，新的關注點使我難以運用模式識別這一解題策略。（4）從熟悉的解析式出發，即設試圖求出的解析式，解題思路雖然自然，但是難以實現。

【反思】：（1）知識有所欠缺，加上時間限制，學生即有無從適應之感，又抱有僥幸心理，采取誤打誤撞下策。（2）問題設問有些新的變化，無法提取現成的解題策略；（3）對于函數理解有些片面，過于關注解析式，很少挖掘圖象功能。

4.挖掘錯誤，體現數學內涵

楊振寧博士曾作過這樣的對比，中國學生的學習成績比在一起學習的美國學生好得多，然而十多年后中國學生的科研成果卻比美國學生少得多，原因何在？就是美國學生的思維活躍，創造性思維能力強，他們敢于挑戰權威，這正是我們中國孩子所欠缺的。

（1）發現錯誤，追根溯源

例題：若對任意的，使得恒成立，求實數a的取值范圍？

①此題錯因有二：其一是運用最值分析法解決問題時，學生不重視畫出二次函數圖象或不會從圖象入手分析問題，從而造成不討論或討論不清、討論不全等現象；其二是運用分離參數法解決問題時，忽視變量x的范圍，從而導致未對x+1進行正負、0的討論，同時分離后求新函數最小值時方法選的不夠簡潔。

②此題方法有二：其一是用最值分析法分析，問題歸結為求含參二次函數部分圖象恒在x軸上方問題，要畫好二次函數草圖；其二是分離參數的方法解決恒成立問題，即恒成立，恒成立。

③此題反思有二：其一是處理含參二次函數問題一定要先畫出草圖，學會從圖象入手分析。若函數不定，區間定，則移動對稱軸；若函數定，區間不定，則移動區間，這兩種情況均可以從、對稱軸、端點值考慮。二是用分離參數法解決恒成立問題時，一定要關注自變量的范圍，必要時要進行分類討論。分離后在求新函數的最值時要注意選擇合適、簡便的方法求解。

（2）精心設計，循循善誘

多數學生此時充其量還是處于“聽懂”的程度，只是初步領會了題中所含的思維方法。如果就此省略了讓學生繼續思考和運用的過程，那么學生很容易陷入“上課一聽就懂，下課一做就錯”的怪圈。所以，要讓學生既聽懂、又學會，就必須為學生巧妙安排 “學以致用”的機會，“趁熱打鐵”精心設計一些思維方法不變、而若干條件情景有異的變式題。這樣就把主動權交給學生，使學生在分析問題、解決問題的探索過程中，回顧所學的“方法”并作出相應的選擇判斷，進一步打開思路，從而輕松愉快地實現知識復習與能力提高，提高思維層次。

變題舉例1：

1.在上為減函數，求實數a的取值范圍？

2.若存在，使得成立，求實數a的取值范圍？

說明：①變題1要使在區間上單調遞減，只要使在上恒成立即可，即立刻得出問題的本質仍是恒成立問題。

②變題2把條件“任意”改成“存在”，題型從“恒成立問題”順其自然引出了“有解問題”，通過兩者的對比討論，學生不難掌握這兩個熱點問題。

（3）由此及彼，精彩生成

繼續設計新穎別致的情景或設計較為復雜、綜合的問題進行啟發提問，有利于深層次地突出主題，強化效果，進而提升學生思維深度。

變題舉例2：定義在D上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.

已知函數；.

改編（1）若，函數恒成立，求x的取值范圍。

改編（2）若，函數在上的上界是，求的取值范圍；

（3） 若，函數在上的上界是，求的取值范圍（不必求出 的范圍，只需寫出m滿足的條件）.

【反思】：這樣的隨堂改編教學，雖然打亂了我原本的教學設計，未能完成預定的教學任務，但我認為其根本的價值在于所蘊涵的創新意識和機智地實現錯誤背后的創新價值，是新課程中嶄新的教育理念。只要教師及時呈現錯誤，引起學生有意注意，但不急于用教師的思想去同化學生，而是站在學生的立場去順應他們的認識，在交流中剖析錯誤的來龍去脈，尋找錯誤背后隱含的教育價值，引領學生從錯中求知，從錯中探究。這種教師鼓勵學生不迷信教材和權威的教學，對培養學生的批判精神也是大有裨益的，也能充分發揮錯誤資源的“特殊功能”。所以，我相信只要教師能有意識地注意挖掘學生錯誤中蘊涵的創新因素，適時、適度地給予點撥和鼓勵，學生就能用一些靈活、新穎的思維方式來解決問題。

5.利用錯誤，提高反思能力

建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提。利用學生錯誤資源，引發這種“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，對已形成的認識從另一個角度，以另一種方式進行再思考，以求得新的深入認識，這既有利于問題的解決又培養了學生的反思能力。

案例五：1.遷移到別的知識版塊，學生真正學會反思知識間的緊密關系，提高分析問題、解決問題的能力。

學生作業舉例：數列中的恒成立問題

數列的前n項和為sn，，，等差數列滿足，，

（1）分別求數列，的通項公式；

（2）若對任意的，恒成立，求實數k的取值范圍。

2.收集、整合歷年的高考題，真正達到知識、方法學以致用，產生一種成就感。

學生作業舉例：

1.（2011浙江）設函數=，a∈R，求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有≤4e2成立

2.（2008江蘇） 設函數，若時，恒成立，求實數a的取值范圍？

【反思】：1.我引導學生反思剛才錯在什么地方？為什么錯？今后要吸取什么教訓等？這樣通過學生找錯、議錯、改錯的反思過程，既對基本知識點進行復習，又提高了自己的分析能力，可謂一舉兩得。

2. 教學時教師要引導學生對自己的思維活動及時進行反思，剖析錯誤的原因，有利于提高學生發現錯誤，分析錯誤，改正錯誤的能力，達到正確掌握知識的目的。

6. 整理錯誤，學會舉一反三

在錯題的整理上，首先，我要求學生將錯題本縱向分成三欄，用黑顏色的筆在最左邊一欄，抄寫或粘貼所有的錯題，連帶做錯的部分全部照抄并記錄以下信息：錯題的出處（哪一次測驗的哪一份試卷）和錯題的類型。然后，在糾錯本的中間一欄，對應位置重新做該題。最后，用紅筆在本子的最邊一欄，仔細分析總結該題所涉及到的知識點，該題出錯的原因如：審題出錯、記憶模糊、還是時間安排不當等等。

案例六：學生俞卉楠的錯題本整理

【反思】：1. 在整理數學錯題本時，一定要有恒心和毅力，不要在乎時間的多少，不要敷衍了事，因為通過對錯題的整理、分析與總結，可以培養學生的判斷力、分析力、歸納總結力。

2.鼓勵學生經常閱讀錯題本。錯題本不是把做錯的習題記下來就完了。要經常瀏覽錯題本，對錯題不妨再做一遍，這樣就使每一道錯題都發揮出最大效果，今后遇到同類習題時，就能夠立刻回想起曾經犯過的錯誤，從而避免再犯。

3.可以讓學生交換錯題本來互相糾錯，使學生能夠正確地對待自己的錯誤，把錯誤看作是引領自己進步的階梯。

四、研究的初步成效

經過對各種錯誤資源的開發和利用的實踐和摸索，我發現學生的學習積極性有了很大的提高，學生變得喜歡學習數學，數學學習能力也得到了全面的提升，同時，對于我自己的教學能力也有了較快的提升。以下是幾點收獲：

1.教師的教學能力得到了提升

新課程強調，教師是教學過程中的設計者，教師是學生學習的合作者、引導者和參與者，教學過程是師生共同交流，共同發展的互動過程。教師要善于捕捉錯誤資源，巧妙地引導學生經歷誘錯、尋錯、用錯、議錯、理錯的探究過程。但教師的這一能力并不是憑空的靈機一動，而是要靠長期的教學經驗和教學案例的積累，為此，我們不得不自覺地在自己的教育教學實踐中積極探索、不斷反思；不得不在走進教室之前要充分研究教材、研究教學、研究自己、研究學生、研究考試，長此以往自己的教學能力一定會有較快的提升。

2.激活了學習數學興趣

從教育心理學的角度來說，興趣是一個人傾向于認識、研究獲得某種知識的心理特征，是可以推動人們求知的一種內在力量。“學習的最好刺激乃是對所學材料的興趣”。 錯誤資源往往為學生提供一種情境，當教師把錯誤及時捕捉并經提煉成為全班學生新的學習材料時，學生的探究興趣被大大激發，學生對數學學科有了興趣，就會持續地專心致志地鉆研它，從而提高了學習效果。

3.培養發現意識，提高探究能力

高中數學課程標準在學習策略七級和八級目標中明確規定“在學習中，善于抓住重點，做好筆記，并能對所學內容進行整理和歸納；學習中遇到困難時能分析原因并嘗試解決”。以學生學習中出現的錯誤為載體，引導學生從正反不同角度去修正錯誤，培養了學生思維的深刻性和創造性，是培養發現意識，提高探究能力的有效途徑。

4.增強了學生的質疑意識，培養了嚴謹態度

巴浦洛夫說：“猜疑，是發現的設想，是探索的動力，是創新的前提。”質疑是一種探索，更是一種創新的心理素質。質疑是人類創造思維發展的精華，只有擁有質疑精神的人，才具備創新能力。在課堂教學中他們敢于“挑戰”老師，敢于質疑教材，不再迷信教材，盲從老師，而是通過深入研讀教材，合作探討，形成了自己的見解，初步建立探究和創新意識，體現了學習能力的發展性。

先圣有言“君子之過也，如日月之食焉。過也，人皆見之；更之，人皆仰之。”在教學過程中，我們既要能像“垃圾箱”一樣容下學生的錯誤，又不能像清潔工一樣把“垃圾箱”的廢品一倒了之，因而我們應該敞開胸懷去接納學生的錯誤，更要用慧眼去挖掘學生錯誤中的閃光點。有效利用學生錯誤資源展開教學，是激發學生學習興趣、提高學生數學素養、提高數學課堂教學質量的有效途徑，我們應繼續實踐、研究，讓錯誤資源激活師生的思維，讓課堂真正成為師生共同成長的舞臺。

參考文獻：

[1]《普通高中數學課程標準（實驗）》 人民教育出版社 2012年第7版.

[2]葉瀾 重建課堂教學過程觀 《教育研究》2002年10月.

[3]陳可可 數學課堂教學中如何糾錯[J].考試周刊，2009（12）.

[4]袁昌寰 數學課堂教學中的錯誤糾正策略及技能[J].課程·教材·教法，2000（9）.