高中導數教學中的例題解答應用研究

摘 要：對于高中時期的數學教學與學習而言，導數是一個十分關鍵的內容，特別是對函數解題及后來的微積分知識掌握。不僅如此，導數還能夠應用在日常生活與工作的實踐過程中。高中數學導數這一部分內容設定的學習目標就是讓學生可以正確、深入的了解導數的內涵，并可以熟悉相關的求導法則與規律，較為清晰的辨別函數間的關系。筆者首先介紹了導數的數學基礎，即導數的內涵、與理論、實踐意義。之后，又以幾個典型的例題為依據講解了導數在實際解題中的應用。

關鍵詞：數學；導數；應用

與函數一樣，導數在高中數學中所占位置也是特別高的，且在歷年的高考中占較高比例。導數不僅僅是高中數學學習的重點，還是微積分知識掌握的關鍵前提。

一、導數的數學基礎

導數的全稱是導函數，它的主要內容產生于瞬時速度。詳細而言，就是當函數f（x）在開區間（a，b）內可導，對于開區間（a，b）中的所有x0均對應一個導數f'（x0），那么f（x）在開區間（a，b）內也就構成一個新函數，稱之為f（x）在開區間（a，b）內的導函數，記作。站在幾何的角度上講，函數f（x）在點x0處的導數意義為曲線y=f（x）在點A（x0，f（x0））處的切線斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f'（x0），那么切線的方程就是y-y0=f'（x0）（x-x0）。站在物理學的角度來看，導數的意義在于瞬時速率與變化率，代數意義為函數的增減速率。

二、導數的典型應用

1.三角函數求導

例1.已知y=（1+cos2x）2，求y'。該題實際上是一個十分典型的導數求導問題，而在解答該題過程中學生可能出現問題的最主要原因就是對復合函數的求導計算掌握不夠。解題當中出現的2x和x盡管系數不同，但同樣還也是復合過程，有很大一部分同學都而在解題過程中有的同學忽視了沒有意識到這一問題，最終解得答案：y'=-2sin2x（1+cos2x）。在了解了這一題目的考察知識點后，學生便可以非常順利的得出正確答案了。第一步，設y'=u2，u=1+cos2x，化簡可得yx'=yuux=2u（1+cos2x）=2u（-sin2x）·（2x）=2u（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x）。如此，就得解答出了正確答案。

2.函數極值

求函數在指定區間內的極值是高中數學中出現頻率較高的一類題目。經研究發現，若函數的導數在某區間的兩側符號不同，那么該函數在這一區間中必然有極大值或極小值。通常情況系，在解答這類問題時都是最先明確函數的定義域，之后再求導。最后，再明確區間兩側的符號，最終確定該函數的極值。這類解題問題會以不同的方式出現，但歸根結底還要歸納到函數求導上。以下將以例2為例介紹導數在函數求極值中的應用。

例2.設函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1和x=2時有極值。（1）求a、b的值；（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）

分析該題不難發現，這實際上就是通過導數求極值的問題，只是在應用過程中產生了變化，但其本質與原理依然不變。

解：（1）f'（x）=6x+6ax+3b，由于函數f（x）在x=1與x=2處有極值，那么f'（1）=0，f'（2）=0。將其代入函數可得a=-3，b=4。

（2）由（1）可知f'=2x3-9x2+12x+8c，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）。當x∈（0，1）時，f'（x）>n；當x∈（1，2）時，f'（x）<0；當x∈二（2，3）時，f'（x）>0.因此，當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c。那么當∈[0，3]時，f（0）的最大值為f（3）=9+8c。由于x取[0，3]的任意一個值時y值都9。所以，c的取值范圍為（-∞，-1）U（9，+∞）。答案：（1）a=-3，b=4；（2）c的取值范圍為（-∞，-1）U（9，+∞）。

深入分析之后可以得出，該題是一個典型的通過通過導數求極值的問題，且形式也未發生太多變化，僅考查了學生借助導數求極值的普通解法。也就是先求導數f'（x）；之后再解f'（x）=0的根；最后再求得函數的單調區間。這種解題方法有效的提升了學生在數學學習與解題中的函數求導意識。

3.曲線切線

面對各式各樣的幾何題目，準確、巧妙的使用導數能夠實現計算過程與解題方法的簡單化。高中學習階段時常會看到坐標系中的切線方程求解問題，這類問題通常都會事先給出曲線外的某個坐標點，讓學生解出切線的方程。而在解答這類問題時，大都是借助導數完成的。

例如已知曲線A的方程為y=f（x），求經過點N（x0，y0）的曲線的切線方程。實際上解答該題時必然會用到導數的基本內涵與解題方法。解答過程中先要明確N點有沒有在曲線A上。之后，獲得相應的導數f（x）'，求得最終解。解答時必須要分情況討論，當N點在曲線A上，得出切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0），如此便可得出最終解。但是當N點不在曲線A上時，就要通過切點（x1，y1），因為y1=f（x1），y0-y1=f'（x1）（x0，x1）。得出切點（x1，y1）的值，如此就獲得了該切線經過的兩個點的坐標，進而也就獲得了通過N點的曲線A的切線方程了。最終，可將其用y-y1=f'（x1）（x-x1）。

三、結語

總而言之，若要將導數思想更加廣泛的應用到高中數學的學習與解題過程中，就要首先對這一概念的內涵、本質與解題方法進行深入的了解與掌握。導數的應用范圍十分廣泛，包括三角函數求導問題、函數極值問題及曲線切線方程問題等。除此之外，在立體幾何、向量與解析幾何等問題中同樣也可以應用導數，而且其應用效果與范圍都十分理想。采用導數解題能夠極大的降低解題的難度，還能夠增加解題方法，從而使學生可以更加深入、全面的理解與熟悉導數，最終求得正確答案。

參考文獻：

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