基于需求層次理論的“說數學”案例探究

☉廣東省廣州市鐵一中學 鐘進均

☉廣東省廣州市執信中學 劉仕森

基于需求層次理論的“說數學”案例探究

☉廣東省廣州市鐵一中學 鐘進均

☉廣東省廣州市執信中學 劉仕森

一、引言

《普通高中數學課程標準（實驗）》（下稱“課程標準”）明確指出，要重視學生的數學交流能力的培養.數學交流的提出在國際數學教育領域已有近三十年的歷史，對它的研究從最初概念內涵的厘定、教育意義價值的挖掘，到后來形式類型的分類、培養模式的歸納，以及到現在用符號學、信息論等理論重新解讀，初步建立了一套理論體系.但從數學學習心理視角分析數學交流的實踐研究尚不多見.

數學交流的形式有多種，其中“說數學”是數學交流的重要形式之一，屬于口頭交流形式.“說數學”是指個體用口頭表達自己對數學問題的具體認識、理解，解決數學問題的思路、思想和方法以及數學學習情感、體會等的數學學習活動.它包括“說知識”、“說過程”、“說異見”和“說體會”.它們分別指口頭表達具體的數學知識，個體解決某數學問題的過程，口頭表達個體對數學問題的結果的不同看法，個體探究某數學問題后的情感體會.

本文擬基于需求層次理論，采用案例研究法對“說數學”的實踐展開探究.

二、理論基礎

美國心理學家、人本主義心理學的創立者亞伯拉罕·馬斯洛（A.H.Maslow）提出，需求層次一共有以下七種：①生理需求，也稱級別最低、最具優勢的需求，指維持生存及延續種族的需求；②安全需求，指希求受保護與免于遭威脅從而獲得安全感的需求；③隸屬與愛的需求，指被人接納、愛護、關注、鼓勵及支持等需求；④自尊需求，指獲取并維護個人自尊心的一切需求；⑤知的需求，指個體對己、對人、對事物變化中所不理解者希望理解的需求，如探索、操弄、實驗、詢問等；⑥美的需求，指對美好事物欣賞的需求；⑦自我實現需求，指在精神上臻于真善美合一至高人生境界的需求，亦即個人所有理想全部實現的需求.前四層為基本需求，后三層為成長需求.

圖1

各種需求層次之間不但有高低之分，而且有前后順序之別；只有低一層需求獲得滿足之后，高一層的需求才會產生.基本需求都是個體在生活中因身體上或心理上有所缺失而產生，它是一般人維持生活所必需，可視為一般人所共有.成長需求與基本需求間成交互作用.一方面基本需求為成長需求的基礎；基本需求中各種需求未能獲得滿足（或部分滿足）之前，成長需求不會產生.另一方面成長需求對基本需求具有引導作用.居于頂層的自我實現需求，對以下各層需求均具有潛存的影響力量.個體生存的目的，一切都是為了追求自我實現.需求的強度不但不隨其滿足而減弱，反而因獲得滿足而增強.在兩類需求交互作用中，學習動機是屬于成長需求類的求知需求.求知需求的產生將系于基本需求是否滿足.需求層次理論有兩個基本出發點：一是人人都有需求，某層需求獲得滿足后，另一層需求才出現；二是在多種需求未獲滿足前，首先滿足迫切需求，該需求滿足后，后面的需求才顯示出其激勵作用.某一層次的需求相對滿足了，就會向高一層次發展，追求更高層次的需求就成為驅使行為的動力.

三、案例描述

由于筆者較長時間實施“說數學”，所以學生有較濃厚的數學學習興趣，熟悉“說數學”的教學環境.以下描述兩個教學案例，然后對這些案例從需求層次理論視角展開分析.

案例1：在復習二項式的展開式的課堂上，筆者在講評以下習題1的過程中，出現了“意外”.

A.-4 B.-3 C.3 D.4

在老師剛介紹完上述解答的思路，還沒開始板書具體解題過程時，學生L馬上大聲地說：“老師，應該先用平方差公式處理，解答起來簡單些.”筆者看了該學生一眼，想起他平時數學成績不錯、好問、數學思維不錯，相信他提出的“異見”應該挺有價值的.此時筆者還沒板書自己想介紹的解答，就微笑地對學生L說：“我明白你的想法，稍等一下，等我講完這種解法，等一下你來介紹一下你的想法吧.”聽到這話，學生L安心地、專心地聽筆者講解解法1.之后筆者邀請學生L到黑板上板書自己的想法（解法2）.他沒帶任何資料，走到黑板前，快速地寫下了：并說：“一看到這個二項式，我明顯看到的就是和它適合使用平方差公式，因此，我先處理一下式子，然后按照老師的解法（解法1）去求解”.筆者馬上評價他：“L同學的想法是完全正確的.他對和很敏感，能及時想起舊知識.這種敏感對數學學習很重要，運用到了其他知識點.”聽到筆者這番話，學生L的神態自豪，之后整節課的學習都很認真.

案例2：在一節高三圓錐曲線復習課中曾有如下一題（習題2）：

已知橢圓 （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F（1-1，0）、F（21，0），P為橢圓C上任意一點，且cos∠F1PF2的最小值為

（1）求橢圓C的方程；

筆者講評此題時，邊分析題目，邊板書解題過程.

解：（1）因為P是橢圓C上一點，所以|PF1|+|PF2|=2a.

在△F1PF2中，|F1F2|=2，由余弦定理得：

|PF1·||PF2|≤）2=a2，當且僅當|PF1|= |PF|=a時等號成立.因為a＞1，所以cos2.因為cos∠FPF的最小值為所以，解12得a2=3.又c=1，所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為

（2）設A（x0，y0），則矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.因為，所以

筆者的講評結束時，坐在第一排的男生X馬上指出：“老師，我覺得這種解法比較麻煩，我有相對簡單的解法”.筆者立即邀請他上講臺介紹其解答（“說知識”，“說過程”）.他走上講臺，在黑板上快速地畫出了圖2，然后邊板書邊講解：

如圖2，點P在弧EF上移動，當點P從E→F時，∠F1PF2逐漸增大.

圖2

由∠F1PF2∈（0，π），函數y=cosx在區間（0，π）上單調遞減，得當P從E→F時，cos∠F1PF2逐漸減小.

圖3

如圖3， 則有：|PF1|=|PF2|=a①，cos∠F1PF2=②.又a2-b2=c2③，故可解得a2= 3，b2=2.

在學生X介紹得出該橢圓方程時，筆者馬上說：“這方法很好，運用了數形結合的數學思想，靈活運用了三角函數的知識來求解問題.X同學的思維很獨特，值得大家學習”.學生X馬上接著說：“老師，對于第二問，我的解答是這樣的.”還沒等著筆者同意，他就接著往下說，邊說邊板書，具體過程如下.

設A（x0，y0），則S=4|x0y0|.

由點A在橢圓上， 令x0＞0，y0＞0， 則則

此時，學生X介紹完了他的解答，回到自己的座位上，兩眼盯著筆者，等待老師的評價.筆者請另一個男生C談一下他對學生X的解答的意見（“說異見”，“說體會”）：“我覺得他介紹自己的解答的時候姿態很自然，語言很流暢.我容易聽懂他所說的東西”.筆者再問：“你覺得X的解答和我剛才給出的解答有什么差異？”男生C考慮了一下，然后說：“老師的解法好像不怎么需要作圖.X的解答需要作圖，從圖像中找到思路，用了數形結合的思想，將余弦函數的知識用上了.兩種解法都用到了均值不等式.”筆者及時表揚了學生X：“他敢于表達自己的不同解法，勇氣可嘉.他的解答完全正確，從‘形’的角度去尋找解題思路，這在求解解析幾何問題時很常見.C同學的比較也正確，說出了兩種不同解法的角度差異，很好！”學生X的“異見”使得講評此題的時間增加了20多分鐘，導致筆者計劃的教學任務無法完成.

四、案例分析

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》（下稱“規劃綱要”）明確指出，“要以學生為主體，以教師為主導，充分發揮學生的主動性……，尊重教育規律和學生身心發展規律，為每個學生提供適合的教育”“關注學生不同特點和個性差異，發展每一個學生的優勢潛能”.

1.數學教學需關注學生的身心發展需求

“課程標準”明確指出，教師在教學設計中要充分考慮數學的學科特點，高中學生的心理特點，不同水平、不同興趣學生的學習需要.我們認為，要落實“以學生為主體，以教師為主導”，教師就需關注學生的身心發展需求，而不是教師本身的需求；不同學生具有不同的身心發展特點，如不同學生對數學學習的認識、理解就不同，更不用說他們的數學知識基礎和數學學習心理的差異了.在案例1中，筆者在講評習題1之前就知可先運用平方差公式，本想在講評完解法1之后簡單介紹一下解法2的思路就算了，意外的是學生L自己就是用解法2求解的，他等待機會直接提出“異見”，渴望老師提供平臺給他“說”出來（這就是他的隸屬與愛的需求、自尊需求、自我實現需求）.在案例2中，學生X很好地運用了數形結合、特殊化數學思想.對于第二問，筆者提供的解答和他的解答稍有不同.前者將中的x和y“化二為00一”，之后運用二次函數的知識求解（化歸為初中數學知識）；后者運用均值不等式（化歸為高中數學知識）直接求解.就第一問而言，后者顯然更直觀（“形”的優勢），易理解；前者的解答對學生的符號轉換能力要求高些，不直觀（“數”的特點）.正是由于這兩種解答之間存在巨大差異，學生X才有了展示自我的需求（動機）.在課堂上搭建平臺、給機會讓學生展示自己的思維成果，這是教師關注學生數學學習過程中的身心發展需求的表現.“在追求過程中所感覺到的滿足程度，使個人體會到自我實現的意義，這就孕育了人類自發學習的潛能”.因此，數學教學需關注學生的身心發展需求，盡量讓學生在數學學習中感到滿足.

2.教師要善于了解不同層次學生的數學學習需求

每一個學生都有不同的數學學習心理.不同層次的學生具有不同的數學學習需求.教師需在教學中通過不同渠道了解學生的數學學習需求.“教師在學生知識生長、形成的過程中，不能用既定的教學方案或擬定的教學程序一味地去控制和約束學生的思維活動，而是應盡量順應學生思維的自然進程，精心呵護學生學習的‘天賦’生機，及時捕捉學生學習中產生的生成性資源，相機對預設的教學方案不斷做出動態性的變革，以此來促進學生個體知識的生成.因此，我們需了解不同層次學生的數學學習需求.案例1中，學生L在教師的講評中大聲提出自己的“需求”，案例2中，學生X大膽地提出“我有相對簡單的解法”，這些是筆者在長期“說數學”實踐中鼓勵學生大膽地、勇敢地“說”的好處——學生敢于表達自己的數學學習需求，教師就容易及時了解到學生（學習的主體）在學習過程中的需求.其實，對于了解不同層次學生的數學學習需求，“說”只是一種渠道，“寫”為另一種渠道.

3.創設機會盡量滿足學生的數學學習需求

奧蘇貝爾（DavidP.Ausubel，1918-2008）認為，學習者的成就動機都可指向認知內驅力（內在動機）、自我提高內驅力和附屬內驅力.其中認知內驅力指向學習任務本身（為了獲得知識），是一種要求理解事物、掌握知識，以及系統地闡述問題并解決問題的需要.增強學生的認知內驅力，就需強化學生的自我概念.學生的自我概念是指學生對于自身作為學習者的認識以及學習過程的認知體驗.學生自我概念的形成與教師的評價有著密切的關系，有時教師在課堂中無意的一句話都可能使學生的自我概念發生變化.在課堂教學中，教師應盡量創設機會讓學生實現自己的成長需求，給予多種鼓勵，捕捉學生的思維亮點，在最恰當的時機進行及時評價，就能逐漸強化學生的自我概念.

如筆者不給案例1中學生L和案例2中學生X機會表達自己的需求（具體的解答），不及時對這兩個學生的“說”給予及時的評價，那么就有可能這兩個學生的數學學習認知內驅力（內在動機）降低，最壞的結果是對老師和數學學科產生排斥心理，影響學生的數學學習態度.所謂學習態度，是指學生對學習及其學習情境所表現出來的一種比較穩定的心理傾向，是學習者對學習持有的積極、肯定的或者消極、否定的反映傾向，具有一定的持久性和穩定性的特點.學生的學習態度不僅直接影響學習行為，而且還直接影響學習效果.我們應意識到學習態度是學生成長的基礎，也是穩定學習的重要因素，要相信每個學生都有學習的潛能，尊重學生的觀點和思維，與學生進行充分地溝通與交流（創設機會讓“師生”“生生”多交流）.上述兩個案例中，筆者寧愿不完成預設教學任務，也給機會讓學生“說”和展示，并且在學生展示完之后給予及時的評價（既有知識與方法方面的，也有情感態度方面的）.畢竟學生的“說”也是一種課程教學資源.

4.把握契機，促進學生的需求向更高層次發展

《基礎教育課程改革綱要（試行）》指出：“評價不僅要關注學生的學習成績，而且要發現和發展學生多方面的潛能，了解學生發展中的需求，幫助學生認識自我，建立自信.發揮評價的教育功能，促進學生在原有水平上的發展.”學生的發展需求具有層次性和個性差異，從基本需求到成長需求的最高層次需老師的引導、指導和幫助.逐步引導學生學習數學知識、思想方法，提高數學思維能力，形成良好的數學學習情感、態度與價值觀，是數學教師的重任.從學生的需求層次角度看，就是教師努力促進學生從低層次的需求向更高層次的需求不斷得到滿足的過程.某學生性格內向，經常不敢在課堂上大聲回答老師的提問，就是他在數學學習中的安全需求（害怕別人嘲笑）、隸屬與愛的需求（害怕得不到接納、關注、認可）和自尊需求（基本需求）都得不到滿足，他就很難做到走到講臺上邊“說”邊板書自己的數學思考過程與結果（美的需求和自我實現需求）.學生對數學思想方法、對數學知識結構的欣賞的需求就是對知的需求、對美的需求.所以我們需想盡辦法創設機會、把握契機，將學生的需求從低層次推向高層次，最終滿足他們的自我實現的需求（具有較強的數學思維能力，形成良好的數學學習情感、態度與價值觀）.

在案例1中，筆者觀察發現，不少學生都像學生L那樣把握住了的結構，先用平方差公式進行變形后再求解，只是多數學生沒有學生L那么快提出“異見”.案例2中，學生X的解答和筆者提供的解答差異較大，拓展了師生的視野.這些“異見”的提出，為當節課提供了討論的內容.筆者及時把握這些契機，對他們的思考和“說”給予了及時地激勵性評價.這就使得學生L的安全需求、隸屬與愛的需求、自尊需求和知的需求得到了滿足，產生了美的需求和自我實現需求（對數學學習有了更高的自我要求，對學好數學充滿期待）；學生X大方得體、詳細地在全班同學面前介紹了自己的解答，在筆者的及時、客觀評價下，其自我實現需求得到了滿足，也就是他努力解答本習題的理想得到了實現（不僅能獨立解答本題，還能和同伴分享，得到老師的好評）.如此學習方式和評價方式，對學生的數學學習無疑有益，甚至能對學生的終身發展奠基.數學課堂充滿生成性資源，需教師把握契機，不斷滿足學生的低層次需求，刺激學生高層次需求的產生，再想辦法滿足他們的高層次需求，最終促進學生發展，實現“數學育人”.

五、結束語

新課程改革已實施了多年.如何切實貫徹、踐行新課程理念，站在為學生發展服務的高度去認識、實踐、反思和改進數學教學，我們尚需不斷努力.雖然上述案例在數學課堂中不罕見，但從一定理論視角，剖析學生個體的數學學習心理，才能提高對數學教學的認識.

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