拋物線切線的一個優美性質

第五河清

（陜西省旬邑縣旬邑中學）

【優美性質】

已知拋物線C∶y2=2px（p＞0），斜率為k的動直線l與拋物線C交于不同兩點M，N，過M，N做拋物線的切線，則切線交點的軌跡為一條平行于x軸的射線。（特別地，當直線斜率不存在時，軌跡為x軸的負半軸）。

【優美性質的證明】

則過M點的切線方程為y1y=p（x+x1），

同理過N點的切線方程為y2y=p（x+x2），

當動直線的斜率不存在時，由拋物線的對稱性可知，軌跡為x軸的負半軸。

【性質應用】

（1）求動點P的軌跡C的方程。

（2）在直線l∶y=2x+2上取一點Q，過Q做軌跡C的兩條切線，切點分別為M，N，問：是否存在點Q，使得直線MN∥l？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

解析：（1）略，軌跡C的方程為y2=4x。