談以二次函數為背景的一道中考壓軸題的命制

☉武漢市第六初級中學程松 青黃萍

談以二次函數為背景的一道中考壓軸題的命制

☉武漢市第六初級中學程松 青黃萍

筆者多年在武漢六中這所百年名校任教初三數學，該校的學生大多為資優生，他們對能解答出中考壓軸題的要求都非常高，在多年的師生交流、互相學習中對中考壓軸題的命制也慢慢積累了一些體會.筆者所教的學生每年中考高分人數很多，常常是全班過半數學生可達110分以上，今年還有一名叫宋子寅的學生數學中考獲得滿分120分的耀眼成績，也因此產生了想寫寫對中考壓軸題命制和教學的念頭.壓軸題是試卷命制的核心，一道壓軸題的定型，并不是一蹴而就的，而是在《課標》和教材指導下的一個不斷改進—反思—再改進的創作過程，體現《課標》和教材要求下的某種教學導向，本文想從一道以二次函數為背景的中考壓軸題的命制和教學跟同行們交流，力求能引發大家對自己的教學方式方法的再思考.

一、研究“題源”

“題源”可以是課本中的一道題目，也可以是對某個概念、定義、定理的理解和演譯.“拋物線”的定義即“同一平面上到定點（焦點）的距離與到定直線（準線）的距離相等的點的集合”.而二次函數的圖像就是一條拋物線，那么二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖像的焦點和準線在哪里？找到它，就是一個很好的“題源”，因為這里面重點知識豐富，能較好地匯合特殊三角形、四邊形、圓等圖形，能考查方程、函數、數形結合、分類等重要的數學思想，也能較好地兼顧基礎性和區分度.

圖1

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的“焦點”、“準線”與數“a、b、c”有怎樣的關系？當a＞0時，如圖1，設點B為焦點，直線l為準線，點A為拋物線的頂點，對稱軸x=-與直線l垂直，垂足為點C，設AC=AB=t，過點B作BD∥l交拋物線于點D，過點D作DE⊥l于點E，點E為垂足，由拋物線的定義知BD=DE，所以DB=DE=BC=2t，所以D把它代入二次函數的解析式y=簡得t=4at2.又因為t＞0，所以

也就是說，當a＞0時，在拋物線的對稱軸上，從頂點A向上移動個單位長度即為焦點（點B），向下移個單位即為準線與對稱軸的交點（垂足點C）.不難發現，當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，這時從頂點向上移動-個單位長度即為拋物線與對稱軸的交點（即垂足），向下移動-個單位即到焦點的位置.與x軸的正半軸交于C點，頂點為D.

（1）求點C、D的坐標；

（2）過原點O任作直線交拋物線于A、B兩點，過點B作BE⊥x軸于點E.當點B在拋物線上運動時，OB-BE或OB+BE能為定值嗎？請探究它為定值時的條件？

圖2

基于拋物線上任一點到焦點的距離都等于該點到準線的距離，筆者產生了如下命制方案.

例1如圖2，已知拋物線y=而頂點D（0，-1），點D向上移1個單位即為焦點O（0，0），向下移一個單位即到P（0，-2），即為準線與對稱軸的交點，不妨畫出準線l，延長BE交l于點F，易得BF=BO.

當點B的橫坐標xB＞2或xB＜-2時，如圖3，OB-BE=BFBE=EF=OP=2為定值；

圖3

圖4

當點B的橫坐標-2＜xB＜2時，如圖4，OB+BE=BF+BE= EF=2為定值；

當xB=±2時，點B、E、C重合，OB+BE=OB-BE=OC=2.

再看看如何證明OB=BF？

這樣的設計正好考查了有關拋物線的定義、勾股定理等重要數學知識和數形結合、分類等重要數學思想，符合筆者最初的設計思路.但對方程思想體現不足，包括列方程、解方程、根與數的關系、根的判別式等知識的考查，所以還得進一步編制第（3）小題.

二、延伸“題源”編題眼

最后一小題往往是壓軸題的題眼，通過一定圖形中有關角、線段、特殊圖形、相似、銳角三角函數等知識來與方程建立聯系，考查數形結合思想，形的運用考查幾何基礎知識靈活運用能力，數的處理考查方程思想，基于這樣的指導思想，我們提出以下兩種命題設計方案：

方案①如圖5，點P（0，-2），連接PA、PB，求證∠APO=∠BPO.

圖5

圖6

方案②如圖6，過P（0，-2）作直線交y軸右側的拋物線于M、N兩點，若MN2=PM·PN，求出直線MN的解析式.

方案①解析：設直線AB的解析式為y=k1x，直線PB的解析式為y=k2x-2，并設PB與拋物線的另一交點為點G，下面只需要證明點A與點G關于y軸對稱即可，這項證明可以通過求證A、G兩點的縱坐標相同，而橫坐標互為相反數來實現.

方案②解析：如圖7，分別過點M、N作MT⊥l于點T，NS⊥l于點S，首先根據比例性質將需要證明的等式MN2=PM·PN，轉變為證明ST2=PT· PS即可.（這一思想筆者通常稱之為“斜轉平”，就是將非平行于x軸的線段間的關系轉變為平行于x軸線段間的關系）

設M、N的橫坐標分別為xM、xN，由ST2=PT·PS得，（xN-xM）2=xM·xN，所以（xN+xM）2=5xM·xN.

圖7

三、隱藏“題源”創題魂

在設計中考壓軸題（即最后一小題）時，命題人常常將“題源”深深隱藏，必須對初中階段的核心知識和核心數學思想方法掌握得非常好，又有靈活運用能力的學生才有可能解決，有很強烈的篩選尖子生的意圖.

在2014年中考最后的模擬階段（5月底），筆者在拋物線定義的啟示下，很好地隱藏了焦點和準線，命制了下面這道壓軸題，被市命題專家稱“這道題命得很有水平”的贊譽.