小學數學“問題解決”策略的教學思考與實踐

邵陳標

（寧波市江北區第二實驗小學，浙江 寧波 315021）

一、“問題解決”與“問題解決策略”

“問題解決”是20世紀80年代以來國際數學教育發展的核心，是數學教育改革的重要趨勢。英國Cockcroft報告指出：那種把數學用之各種情況的能力，我們叫作問題解決能力。鄭毓信教授認為，“問題解決”即是指如何綜合地、創造性地運用各種已有的數學知識和方法去解決那種非單純練習題式的問題（包括實際問題和源于數學內部的問題）。主張以“問題解決”作為學校數學教育的中心，提倡讓學生通過“問題解決”來學習數學。[1]

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對“問題解決”目標提出了“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識”的要求。[2]這一目標的實質是形成問題解決的策略意識。“問題解決策略”基本含義是指解決數學問題的全過程中，借以思考和假設，選擇和采取的解決方法與步驟，是對解決數學問題途徑的概括性認識。

策略的選擇在問題解決過程中起著極為重要的作用，策略應用的好壞直接影響著問題的解決。小學生的數學問題解決策略，是在長期的數學學習中，通過不斷地進行解題練習而逐漸發展起來的。數學問題解決策略的作用在于減少數學問題解決中嘗試與錯誤的任意性、盲目性，節約解決問題所需要的時間，提高解決問題的成功概率。

數學教育家波利亞(G.Polya)在《怎樣解題》中將數學問題解決過程分為四個階段，即弄清問題、擬訂計劃、實現計劃和回顧與反思。在問題解決的過程中，學生應逐步發展各種數學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等。問題解決的過程也是學生思維發展的過程，不僅能發展學生的策略性知識，還有助于發展學生思維的新穎性和獨創性。因此，教師應根據學生的思維特點，對學生進行問題解決策略的傳授和訓練，使學生掌握常見的問題解決的策略，引導學生從數學的角度看問題,以數學的眼光分析問題,經歷對信息的收集、整理、處理的過程,對解題思路的猜想、嘗試、推理的過程,對解題方法的比較、反思、驗證的過程,幫助學生提高問題解決能力，發展數學思維能力。

二、形成基本的問題解決策略

1.畫圖的策略

畫圖是一項具體化的策略，包括畫線段圖、實物圖、示意圖、韋恩圖等。畫圖作為解決問題的有效策略，借助幾何直觀地把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，從而促進學生數學問題的解決。畫圖又是一個“去情景化”的過程，有利于提煉關系并直觀表達，符合小學生思維特點。教師應重視引導學生經常運用“示意圖、線段圖”等直觀手段，逐步學習“韋恩圖、長方形圖”等，幫助學生理解問題、分析數量關系，逐步形成圖示表征的策略。

首先，說說示意圖的教學。示意圖的教學從一年級開始就應滲透，小學階段幾乎都可以用示意圖表示數量關系。如引導學生畫圖表示數，畫圖說明計算結果等，在解決實際問題時，可以讓學生用自己喜歡的方式把“應用題”畫出來。例如：三年級“用連除解決問題”時，為更清晰地呈現實際情境，凸顯數量關系，我們改編了教材集體舞的情境圖，采用上海世博會的情境，在情境圖基礎上出示完整問題：

一共有32個海寶機器人參加巡游，排成2隊，每隊有4行。平均每行有幾個海寶機器人？

學生獨立解答后用圖交流反饋：

生1：用32÷2=16(個)，先求出每隊有16個，再根據每隊有4行，用16÷4=4(個)求出每行有4個。

生2：32÷4÷2=4（個），先算出一大行有8個，再根據有2隊，用8÷2=4(個)算出每行有4個。

生3：32÷（2×4）=4（個），先算出一共有幾行，再求出每行有幾個。

結合學生反饋，課件演示：

方法一：32÷2÷4=4（個）（參見圖1）

方法二：32÷4÷2=4（個）（參見圖2）

方法三：32÷（2×4）=4（個）（參見圖3）

上述教學案例中，“數形結合”無疑是幫助學生理解題意、理清思路的好方法。教學時先采用長方形直觀圖與算式相結合，學生在圖中圈一圈，溝通數與圖的關系，清晰表達解題思路。再通過課件演示，逐步從直觀圖抽象到矩形圖，至此，在學生頭腦中初步建立“連除就是連續兩次平均分”的清晰數學模型。學生經歷從獨立解題到厘清語言表述思路，再到提煉數量關系，最后歸納解題策略的三個過程，從而掌握連除解決問題的基本思路。可見，直觀示意圖幫助學生搭建起解決問題的腳手架，降低了學生建構新知的難度。

其次，理一理線段圖的教學。線段圖是小學數學教學中經常采用的解決問題的有效手段。把握線段圖的尺度是個焦點問題，主要是何時教？怎樣教？這里會有種種誤區：有的教師認為線段圖太重要了，應該從一年級開始就教，而且要補充課時；有的認為從中年級開始，教材有就教，沒有就不教；有的則認為低年級數學問題過于簡單，無須線段圖，可從高年級開始教。筆者認為，問題不在于何時教，而是如何根據學生的心理特點，在遵循學生認知規律的基礎上逐步滲透。實踐表明，從三年級“求一個數的幾倍是多少”開始教線段圖，優勢比較明顯。人教版教材從三年級上冊“倍的認識”單元首次出現正式的線段圖（教材圖略）。筆者在教學本單元時，采用逐步滲透的方法教學：在第一課時“倍的認識”教學時，在桌上擺出與教材“做一做”類似的實物圖，到紙上畫出簡單的示意圖；第二課時在解決例2“求一個數是另一個數的幾倍”時，引導學生先畫出示意圖，不少學生覺得畫出一個個人太麻煩，于是有用畫圓代替的，有用小棒表示的，也有用線段表示的，自然地引出線段圖表示法；到例3教學時，無法再用示意圖來表示數量關系了，于是線段圖正式登場，真正成為學生的內在需要。因此，首先要激發學生畫圖的需要；其次要從低年級開始逐步滲透，從簡單題型開始，從畫簡單示意圖開始，指導學生畫線段圖表征數量關系。這樣從示意圖，再到線段圖，最后要讓線段圖成為學生自覺構造的直觀手段，逐步形成畫線段圖的意識與習慣。

2.列表的策略

新修訂的人教版教材十分重視以列表的策略解決問題。（列表策略在新教材中的安排大致情況參見表1）

列表作為小學數學問題解決的重要策略，不再拘泥于刻板的解題形式，有利于釋放學生的思維活力，提高學生解決問題的興趣。列表策略的作用主要體現在兩個方面：第一，學生通過列表枚舉出符合條件的一些結果，然后通過驗證從中選擇最佳的答案；第二，將問題中的信息用表格的形式加以整理，既起到整理信息的作用，也有助于通過推理探索出解決問題的思路。

有些數學問題的解答，需要根據條件和結論之間的邏輯關系，通過推理找到答案。邏輯推理要求以正確的判斷為前提，從正確的前提出發，才能推出正確的結論。例如：在二下“數學廣角”中引入了簡單邏輯推理問題，通過列表推理解答，既能體現推理過程，又能呈現推理結果，豐富學生問題解決的方法。

3.枚舉的策略

圖1

圖2

圖3

枚舉即一一列舉，又稱窮舉法。用枚舉法解決問題，最簡單的是將問題的所有答案依次列舉出來，更簡單的是將問題可能的答案一一列舉，并根據約束條件判斷、篩選答案。枚舉是最原始、有時也是最管用的一種方法，就是列舉所有的可能性，然后在這些可能答案中，找出一個或幾個符合題意的答案。小學階段問題解決中的“枚舉法”的特點是由淺入深，由易到難，逐步優化，通常輔以列表或圖示來列舉。以下是對教材運用枚舉策略的簡單梳理：一下第五單元例7，“13元正好買哪兩種雜志？”采用的就是嘗試、有序列舉的方法，初步滲透枚舉法；二上數學廣角搭配（一），則用列表法將組成兩位數的各種情況列舉出來；三上第三單元出現列表一一列舉所有答案，正式訓練運用列表法解決問題；三下第八單元數學廣角中，進一步用圖示有序列舉解決搭配問題，“有多少種不同的穿法？”這一案例已成為公開課的經典案例；到了四上數學廣角單元，用列表法解決“田忌賽馬”問題，初步形成優化意識；四下“雞兔同籠”問題解決中，進一步嘗試列表找到問題答案，形成優化意識；到五年級學習最大公因數和最小公倍數時，再次運用枚舉法解決問題，并且在“打電話”“找次品”中進一步通過圖示列表清晰地呈現解決問題的思路，形成優化策略。可見，小學階段問題解決中枚舉法是常用的策略，需要加以重視。

4.假設的策略

假設法是解決數學問題的有效方法。在小學通常假設某一未知數量取一個可能的值，從而化抽象為具體，以方便列式；或者假設某一種情況（結論成立），作為推理的起點。這里主要介紹比較適合小學生的兩種方法。

（1）賦值計算

即根據條件，選擇某個未知數量，假設它為某個已知的具體數，通過列式計算，得到正確答案。例如：人教版六上（P42）工程問題。這條道路有多長未知，可以假設18米、30米……甚至1米，逐步抽象成單位“1”，用不同方法得到的結果相同：36÷（36÷12＋36÷18）；18÷（18÷12＋18÷18）；1÷（＋）。為什么“工作總量”不相同，而計算所得的“合作時間”卻相等呢？引導學生比較這幾個算式，假設的數據雖然不同，之所以結果相同，是商不變的規律在起作用，這種變化實際上就是一種正比例關系。一般地，設全長為a，由題意列出算式a÷（a÷12＋a÷18），假設的參數在運算過程中被消去，同樣說明它與答案無關。上例假設賦值的實質是將代數運算轉化為算術運算。

通過這樣的驗證過程，對一個具體的數學問題做了抽象化處理，建立起數學模型，在這樣充滿探索的過程中，讓學生充分經歷知識生成過程，真正理解一個數學結論是怎樣獲得的。

表1

（2）假設——比較——調整

即根據條件，假設一個數，通過計算、比較，發現不符合其他某個條件，然后加以調整，直到得出答案。

例如：人教版四下“雞兔同籠”，由原六年級內容調整到四年級后，刪去了方程法。教材由《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題引入，先后呈現了猜測列表法、假設法、抬腿法等，注重體現不同思路和方法，使學生體會解題策略的多樣性，其核心思想是假設。教師應如何滲透假設思想，溝通各種方法之間的內在聯系，體會解決問題策略的多樣化和內在聯系？

筆者對例題進行了調整，教學過程呈現如下：

出示例題：五年級有34個同學去游樂園劃船，共租了8條船，每條船都坐滿了。大船每條坐5人，小船每條坐3人。大小船各租了幾條？請選擇畫圖、列表、推算等方法解答。

通過小組交流，匯報反饋不同方法：

方法1.列表法

第一步：收集學生中無序列舉的情況，學生嘗試調整。

第二步：通過一一列舉，把列舉的情況計算出來。發現用列表法不僅可以不重復、不遺漏，而且很方便記錄計算的數據。

第三步：引導觀察表格中（參見表2）人數的變化規律，發現“每次將1條小船調整為1條大船，都增加2人。反之，1條大船換成了1條小船，人數就減少2人”。這樣，可以省略部分枚舉過程，直接得到最終結果。當然，也有學生想到從中間嘗試。

方法2.畫圖法（參見圖4）

方法3.假設法

第一步，假設8條都是小船，只能坐24（8×3＝24）人；第二步，與實際人數比較，還剩10（34-24＝10）人不能上船；第三步，把部分小船調整為大船，每調整1條，增加2（5-3=2）人，共要調整5次，即把5（10÷2＝5）條小船調整為大船。當然，受此啟發，也可以讓學生嘗試假設8條全是大船，結合圖說明推算過程。

在展示上面三種方法的基礎上，溝通不同方法之間的聯系。列表法其實也是假設，在序排列中最大和最小的情況其實就是假設的兩個極端。圖示法實質是與列表法相似的探索過程：假設——比較——調整（置換）。

這樣，從猜測列表到直觀畫圖再到假設解題，在不斷調整嘗試中理解假設法的真正含義，經歷觀察、嘗試、比較、驗證和推理的過程，突出學生的思維過程，獲得數學活動經驗，體會假設思想。

5.轉化的策略

“轉化”常常作為“化歸”的代名詞，轉化在數學解題中無處不在，遇到未知或難以解決的新問題時，可通過轉化，使新問題化未知為已知、化難為易、化繁為簡，從而順利解決問題。善于使用化歸是數學思維的一個重要特點，也是解決數學問題的基本思路和途徑之一。

（1）條件的轉化

例如：商店8箱水果重量相同，如果每箱賣出25千克，剩下的水果重量相當于原來3箱水果的重量，問原來每箱水果重多少千克？

本題的難度處于小學中年級學生的最近發展區內，教學時可讓學生先復述題意，追問“剩下的水果的重量相當于原來3箱水果的重量是什么意思？”，再讓學生畫圖表示題意。這樣學生通過小組討論能得到最后一個條件的轉化過程：剩下水果的重量相當于原來3箱水果的重量→賣出水果的重量相當于原來5箱水果的重量。

（2）問題的轉化

例如：有18支足球隊要參加比賽，比賽采用單場淘汰制（即每場比賽淘汰一支隊伍）進行，一共要進行多少場比賽才能產生冠軍？如果從正向去分析，采用枚舉的方法學生會覺得很麻煩。但是，從問題出發，因為每比賽一場淘汰一支隊伍，最后留下的一支就是冠軍，所以把問題轉化為“一共要淘汰多少支隊伍”，問題就迎刃而解了，即一共要淘汰17（18-1=17）支隊伍。

表2

圖4

（3）思路的轉化

例如：小明把一張正方形紙對折，剪去一半，再對折，剪去一半。對折剪去7次，一共剪去這張紙的幾分之幾？把原題的異分母分數加法計算題改編為應用題，引導學生主動畫圖。在畫圖過程中發現規律，轉化思路，找到解決問題的不同辦法。

把問題轉化為怎樣求解分式：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值。

生1：畫圖法。畫正方形圖，因為1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128表示前面n次分割圖形的面積的和，這個面積就等于整個面積減去最后一次剩下圖形的面積，而第n次分割的圖形面積又是1/27,所以原式=1-1/128=127/128。

生2：補數法。（過程略）

生3：找規律法。

因為1/2+1/4=3/4；

1/2+1/4+1/8=7/8；

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16；……

所以原式=127/128。

生4：拆分法。

原式=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+ …… +（1/64-1/128）

=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+……-1/64+1/64-1/128

=1-1/128=127/128

6.估算的策略

《數學課程標準（2011年版）》對估算教學目標做了調整，明確提出：“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算。”可見，新教材更加重視估算教學的必要性，更注重把估算作為一種解決問題的策略。新教材估算策略的選擇以能不能解決問題為原則，以體現估算“無需準確”“追求簡潔”“達成意愿”的本質。

例如：在人教版五上（P15）例8用估算解決問題，教學時引導學生用不同的方式去分析問題。

首先，創設超市購物情境，通過合適問題背景，體會估算在解決問題中的應用。教給學生閱讀理解的方法，當信息數據較多時，借助表格整理使信息數據更加清晰直觀，以更好地分析數量關系。

其次，培養學生的估算意識，體會估算的不同策略，讓學生根據數據和問題靈活選擇算法，體會像“夠不夠”這類問題用估算解決。估算時，要根據實際數據選擇適當的估算策略。

在解決第一問時，引導學生反饋交流：

生1：一袋米不到31元，兩袋不到62元，肉不到27元，再買一盒10元的雞蛋，總共不超過99元。所以100元夠了。

生2：31×2+27+10=99，用符號來表示就是“實際 〈99”。

解決第二問，學生展示：

生1：一袋米超過30元，兩袋米超過60元，一千克肉超過25元，那么0.8千克就超過20元，再買一盒20元的雞蛋，總共就超過100元，所以100元肯定不夠。

生2：30×2+20+20=100，我都估小了，剛好100元，那實際更不夠了。用符號表示就是“實際〉100”。

以上教學案例展示了如下具有邏輯意義的推論：“如果估大了也夠了，那么實際一定夠了。反過來，如果估小了也不夠，那么實際一定不夠。”這樣的推論完全符合邏輯，估算得到的結果就是一定的，不需要再用精確計算來驗證。事實上學生在估算之前還要有個大體的判斷，是夠還是不夠，并且在具體情境中通過滲透不等式的性質來解決問題，這樣就很好地體現了新教材估算教學的應用價值。由此看來，解決問題時，不能僅僅停留在會估算上，更要積極引導學生去探索估算中的預測、調整、反思策略。當學生想出不同方法時，教師要給予針對性的評價，引導學生比較估算策略的合理性，從而優化估算策略。

綜上所述，問題解決策略的教學是整個數學課程中不可缺少的一部分，它應伴隨數學學習的全過程。圍繞“問題解決”的目標，采取有效的教學策略，讓學生真正學會用數學的眼光、數學的思維、數學的方法去認識世界，主動解決現實問題，有效培養學生運用數學解決實際問題的能力，從而使教學活動更富生機和活力。▲

[1]鄭毓信，梁貫成.認知科學建構主義與數學教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.