HPM研究與實踐：是理念，更是行動

【摘要】一線數學教師已經十分認同將數學史融入數學課堂的價值。在小學數學課堂上可以運用鏈接式、再現式、融入式等方法進行HPM研究與實踐，這三種方法雖然在層次上有區別，但相互之間并不對立互斥，它們既可以獨立運用，也可以在一節課中綜合運用。

【關鍵詞】HPM;鏈接式;再現式;融入式

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0011-03

【作者簡介】薛志梅，江蘇省蘇州工業園區方洲小學（江蘇蘇州，215028），二級教師，蘇州工業園區教科研能手、教育技術應用能手。

早在19世紀，數學史對于數學教育的價值就已經被一些西方數學家所認識。1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教育之間的關系國際研究小組。研究表明，數學史用在數學教育中能激發學生的學習興趣，培養學生的數學精神，預見學生的認知發展，促進學生理解數學和認識數學的價值，構筑數學與人文之間的橋梁，指導并豐富教師的課堂教學，等等。作為一線教師，筆者在教學實踐中經歷了從迷茫到清晰、從無意識到自覺地運用數學史的過程，因而筆者對老師們進行HPM研究與實踐時遇到的典型性困惑感觸頗深。

一、“作為一線教師，在數學課堂上該怎么用數學史？”

1.鏈接式運用數學史。

目前，在教學時，很多數學教師會插入一些與教學內容相關的數學家圖片或講述與之相關的逸聞趣事或介紹有關的數學史料，以此來提升數學課的文化味道。像這樣運用數學史的方法我們稱之為鏈接式，其內在意義在于數學史沒有影響教師的教學設計，只不過是在原有的教學設計中插入了一個“超鏈接”。

比如：教學“用字母表示數”，可以給學生講講“從丟番圖用縮寫的方法表示數到韋達把字母當作符號來表示數”的抽象歷程，然后讓學生猜一猜“從丟番圖的方法到韋達的方法，數學家們用了多少年”，當學生知道這一過程用了一千兩百多年時，他們的臉上都寫滿了驚嘆。這樣做有助于減少學生的學習焦慮，激發學生的學習激情。

鏈接式雖然是數學史使用的較低層次，但我們不能忽視它的價值。數學家陳景潤高中時很快解決了沈元老師提出的“韓信點兵”問題，并在黑板上寫出了精彩的解法，沈老師高興之際鼓勵道：“你能獨立解答‘韓信點兵，不要停止思考，你能創造更大的奇跡，比如解決‘哥德巴赫猜想。”于是，沈老師講起了“哥德巴赫猜想”的故事，這個故事給陳景潤留下了深刻的印象，像磁石一般吸引著他。在求知欲旺盛的小學生面前多講講數學家的故事，在他們的心里播下渴望的種子，有利于激起他們對數學的學習熱情。

2.再現式運用數學史。

在鏈接式的基礎上，還可以在設計教學時就開始收集相關內容在歷史上留下的經典名題或數學故事或相關的數學結論或多樣的數學方法，在課堂上再現類似的情境，讓學生像歷史上的數學家們那樣去獨立思考、探索知識，這種方式稱為再現式。

比如，我國古代算術《孫子算經》中有這樣一道題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這個題目及其解法在世界數學史上十分有名，中外數學家稱之為“孫子定理”或“中國剩余定理”。可以在教學“數的整除”的相關知識之后將其再現在課堂中，組織學生去思考。

又如：學習了“三角形的面積”的計算方法后，可以出示《九章算術》中記載的“半廣以乘正從”的方法，請學生明晰這是怎樣的方法，為什么也能用來計算三角形的面積，以及和我們自己推導出來的方法有什么相同之處，這有利于加深學生對三角形的面積計算方法及其推導過程的理解。

如果說鏈接式可以更多地觸及學生的情感，顯然，再現式可以更多地觸及學生的數學思考。要注意的是，“再現”不是“復制”，沒有必要完整地呈現歷史上知識的形成過程，而應截取知識形成或方法運用最經典的關鍵節點，這有利于更好地激發學生的學習動機，促進學生進行深入的思考。

3.融入式運用數學史。

運用數學史的最高層次當屬融入式，即在課堂上重構人類認識的發生、發展過程，教學推進過程中看似沒有使用有形的數學史，卻有機地融入了歷史上人類認識產生飛躍的關鍵進程。很多教師說：“數學史看上去很美，但做起來很難。”恐怕指的就是數學史的融入式運用。下文將對此作更為具體的說明。

二、“把數學史融入數學教學，看上去很美，做起來很難，到底如何融入？”

對數學教師來說，在數學課堂上運用數學史是一個再創造的過程。融入式運用數學史，無疑需要教師進行更深入的思考，它是教師基于數學史、教學內容和教學對象展開一系列思考和實踐的過程。這個過程，我們總結為如圖1所示的架構，下面結合蘇教版五上《用字母表示數》一課來具體說明如下：

1.融入式運用數學史的理論基礎是歷史相似性原理。

個體的認知過程與人類認知提升的歷史過程基本是一致的，歷史上數學家曾經遇到過的困難，課堂學習中學生同樣會遇到，應注意處理好學生個體和群體間的關系。比如：代數知識的發展大致經歷了文辭代數、縮寫代數、符號代數三個階段，那么在理論上，每個學生個體的認知提升大致也會經歷這三個時期，也會面對歷史上人類認知提升曾經遭遇的障礙。但在某個課堂教學的特定時空里，在學生個體身上體現不出這種歷史性的過程，但不同認知水平的學生會停留在不同的認知階段，因此，可以在學生群體中看到這些不同的認知形態呈現出的歷史性過程。

2.整個架構最終指向“融入式的數學課堂教學”。

HPM研究與實踐，不是為了讓學生學習數學史，而是為了學生更好地學習數學。明確了HPM研究的核心基點，也就明白了對于數學史料應該采取大膽拿來為數學教育所用的態度，符合“兩個有利于”（有利于更好地激發學生的學習動機，有利于學生更好地進行數學思考）的就用，不符合的就進行教學法的加工。所以，融入式運用數學史需要教師“備方法”。也正因為運用數學史是為了數學教學，所以，對于史料中無從考證的知識形成過程，也可以進行合情推理，設計切合學生經驗水平的知識形成過程。

3.只要是進行教學設計，就需要“備學生”“備內容”“備方法”，但要結合數學史去思考這些問題。

需要補充的是，為了方便說明，上述架構中的“三備”是線性的，而事實上它們很難分清先后次序，往往需要交融往返地進行思考。

4.用相互補充和佐證的方法讀通數學史。

利用數學史“備內容”“備學生”，首先要讀多個版本的數學史書籍，因為對于同一個數學史事件，不同的作者會有不同的敘述視角，會引用不同的歷史細節，多個版本的數學史書籍相互補充和佐證，我們擁有的資料才豐滿。在讀數學史的過程中，要深入追問：一要理清這個知識的來龍去脈，從而提煉出所學知識的數學本質，以及人類認知提升經過的階段;二要捕捉人類認知經歷了哪些挫折或走過哪些彎路，從而提煉出人類認知提升遭遇的障礙，簡稱“兩讀三提煉”。

從這些角度去讀代數史就可以發現，人類最初所謂的“代數”就是解方程。而最早的解方程是用自然語言記錄的，看一個方程的解法如同看一篇小論文;之后古希臘數學家丟番圖想到了用字母去表示未知數，他用具體數量發音音節的第一個字母來表示該未知數，未知數的意義不同，表示未知數的字母就不同，而且相互間不通用，所以解方程的方法各不相同;到16世紀，法國數學家韋達思考用輔音字母來表示未知數，用元音字母來表示已知數，這樣方程就成了統一的模樣，從而發現了二元一次方程的根的規律。這之后，其他數學家再把韋達的方法加以完善，就有了現在的初等代數。

這段歷史，總結起來就是“文辭代數、縮寫代數、符號代數”三個階段，而且從丟番圖用字母表示未知數到韋達用字母還能表示已知數經歷了一千兩百多年，這之后代數獲得了更好的發展。所以，學“用字母表示數”到底要學什么，把教科書上的知識放到歷史的背景中去考察，就一清二楚了。

5.再結合學生的現實尋找恰當的素材，設計合理的教學進程承載歷史的精華。

教科書是借助擺三角形用多少根小棒的題材來引導學生思考用字母表示數的，既簡約又很豐富，可以照用。但用的過程中，基于數學史就要特別注意：要讓學生產生用字母去概括的需要，就不應該直接提“如果擺a個三角形用多少根小棒”這樣的問題;其次，在學生思考如何概括擺三角形用的小棒的根數時，要注意辨析學生的想法處于哪個認知階段;再次，設計好問題引導學生體會現在用字母表示的是一定范圍內的已知數。至此，融入式運用數學史進行“用字母表示數”的教學設計便水到渠成了。

融入式運用數學史，數學史成為了推進教學的內在依托和厚實背景，需要教者站在歷史的高度，理清數學知識的來龍去脈和數學思想的演進走向，把握所教內容的本質，然后設計情境，引導學生經歷知識產生、發展的過程，在人類認知提升的關鍵節點上給予學生充分的時間和空間，讓他們運用已有的知識、經驗、方法去思考、探索、交流，從而生成深度的數學理解，提升數學素養。

數學史運用的三種方式雖然在層次上有區別，但相互之間并不對立互斥，它們既可以獨立運用，也可以在一節課中綜合運用。特別需要注意的是，數學史的三種運用方式各具價值，鏈接式和再現式運用數學史的難度并不大，但對學生的數學學習同樣頗具意義。