歷史啟示我們……

吳振亞 蔡宏圣

【摘要】數學史不僅是歷史的知識，也是思考問題的厚實背景。對照歷史，數學教育要吸引學生思考，并讓學生充分享受思維的高峰體驗。“先學后教、以學論教”不能把對新知的探索變成對新知的驗證，要根據教學內容的不同情況合理使用，給予學生數學發現、數學創新的機會。

【關鍵詞】數學史;數學思考;高峰體驗;先學后教;創新

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0018-02

【作者簡介】1.吳振亞，江蘇省太倉市實驗小學（江蘇太倉，215400），太倉市學科帶頭人;2.蔡宏圣，江蘇省啟東市中小學教師研修中心（江蘇啟東，226200）小學教研室主任，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

如果說哲學研究的是世界上一切事物的最普遍規律，那么，數學哲學研究的就是數學發生和發展的最普遍規律。關于數學史與數學哲學之間的關系，康德有句廣為流傳的名言：數學史一旦缺少了數學哲學的引導，便是盲目的;至于數學哲學，要是對數學史中最引人遐想的現象不理不睬，那么，它便是空洞的。數學領域的最高智慧——數學哲學研究都需要從數學史中汲取營養，那數學教育憑什么拒絕數學史呢？限于篇幅，本文選取數學課改中的兩個問題，看看數學史能給予我們什么啟示。

一、數學憑什么吸引學生？

2002年8月在北京舉行國際數學家大會期間，陳省身先生為以“走進美妙的數學花園”為主題的中國青少年數學論壇分別題詞“走進美妙的數學花園”和“數學好玩”。特別是“數學好玩”的錚錚教誨，凝聚著一代數學大師自身學習、研究數學的切身體會，在某種意義上也揭示了數學潛在的某種特質。

說起“好玩”，大家都會想到游戲。大多數成年人都有過玩游戲的經歷和體會。回顧這些體驗，一個好玩的游戲，首先應該容易入手，能很快玩起來;其次是有點小難度，隨著玩法的熟練，不斷有匹配你能力的新進階等著你去挑戰。在數學里也有游戲，比如七巧板、華容道、九連環等。七巧板，在國際上被稱為“唐圖”。拿破侖在滑鐵盧兵敗被流放之后，常玩七巧板消遣。為什么他沒有感到厭倦？因為七巧板能拼成成千上萬種圖案。中國科學院院士張景中教授主編有《好玩的數學》科普叢書，其中吳鶴齡先生編著的《七巧板、九連環和華容道——中國古典智力游戲三絕》一書，剖析了三個經典游戲背后的數學道理，玩智力游戲的本質是玩數學。

數學知識源于人類的生產勞動，但數學科學卻源于古希臘人的理性思辨。相傳，古希臘的第一個賢哲泰勒斯從古埃及那里繼承提出了4個幾何命題的一般形式，并設法證明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉圖建立了自己的學院，門口赫然豎立著“不懂幾何者禁入”的警示牌，能進入學院聚在一起討論交流的已不可能有真正意義上的勞動者，大家在陽光下、草地上溫文爾雅地討論的也不是一個數學結論能直接解決生產生活中的哪個問題，而是如何賦予一個數學結論以邏輯性。歐幾里得和他的《幾何原本》是人類歷史上第一個理論形態的科學，這個史實至少可以說明柏拉圖和他的弟子們實際上并沒有做出更多的名堂，但重要的是柏拉圖開創了從經驗幾何提升為證明幾何的里程碑。在這個過程中，吸引人的已經不是數學的使用價值，而是純粹的智力樂趣。因而，英國數學家哈代說：“激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力。”陳省身先生說“數學好玩”，正是對數學發展這一特質的凝聚，也是其自身在學習和研究數學的過程中感悟到的哲理。先生在天津扶輪中學求學時，樂此不疲地尋找弦切角定理的多種證明方法，寫就《一個幾何定理的十六個證明》一文，刊登于校刊《扶輪》上，享受的便是思考的樂趣。

綜上所述，數學就其客觀意義，本身無“好玩”之說，而學習者建立起“好玩”的主觀感受，總結起來不外乎兩條：其一是簡單有趣，能讓參與者很快入境;其二是別有洞天，能讓參與者欲罷不能。不少人覺得數學難，所以不愛學數學，實際上這是表面現象。數學能讓一部分人終身追隨，不是因為它簡單，恰恰是因為它有點難。因此，不愛學數學的問題本質在于：面前的數學對他們來說，“難”得不合適。如果要解決的問題就像跳一跳就能摘到的果子，那么他們就不會計較跳一跳的努力，反而會因為跳一跳更難以忘懷那果子的鮮美！

數學，是人類智力的皇冠，吸引人沉醉其中的是可以享受智力的高峰體驗。一個高明的數學教師，要呈現與兒童的認知水平相匹配的數學——能解決又不能隨手可得、有信心又需要再努力的數學。如此，學習的過程便猶如陶淵明先生游記里所描述的：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，從口入。初極狹，才通人。復行數十步，豁然開朗。”這樣的數學學習過程，積累著從輾轉反側、冥思苦想到石破天驚、豁然開朗的思考樂趣，學生怎么會拋棄數學呢？

二、怎樣的“先學后教、以學論教”才完美？

如果高度概括數學發展的話，數學史實際上只有兩個歷史階段：其一是數學結論的創造階段，這里往往是偉大數學家的大膽猜測、直覺或類比推理起著更大的作用;其二是數學理論的構建階段，用演繹推理的方式賦予已經創造出來的數學結論以邏輯性。也就是說，盡管數學的最終表現形式是嚴格的演繹方式，但只有依靠直覺、大膽的猜測，并通過多次反復（猜測，反駁;再猜測，再反駁），我們才能發現并最終獲得可靠的知識。用演繹推理的方式證明，雖然是數學的靈魂，但在此之前，總要明確要證明什么。愛因斯坦說：“解決問題也許是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”數學學習不僅要學習如何用演繹的方式去證明，還要有大量的機會去體會如何猜測、類比和歸納，這才是完整的數學學習生活。

教師把數學看得越透徹越能在數學教育的各種紛爭中保持應有的定力。當下，數學課堂中“先學后教、以學論教”的實踐如火如荼。這樣做的理論基礎是：學生是有學習能力的人，不是一張白紙，為什么要把將要學習的知識藏起來怕他們先知道呢？難道只是為了確保教師在課堂里更像個權威？這一番理論很有說服力，讓學生先學起來，把他們從原先的被動學習狀態中解放出來，也肯定沒有錯。但需要慎思，學科教學在承載教育功能的同時要體現學科的特質，只有這樣，各個不同學科構建而成的課程體系才有意義。不說“先學后教、以學論教”異化成“先學后教、大量做題”對數學教育目標帶來的傷害，也不說先學時圍繞預習題、辨析題進行的對新知的解讀式學習濾去了數學內在的思想精髓，就是神似的“先學后教、以學論教”，學生閱讀教科書知道了數學結論后，課堂中所做的事便是運用所有的舊知去設法驗證、說明該結論的成立。這樣的課堂實踐也以事實說明，放開了讓學生先學，的確能激發他們的學習能動性和潛在智慧。但要警惕并要想方設法避免的是：學生的所有智慧都服從于已有的結論，千方百計地驗證和說明這個結論的正確性，沒有機會在問題情境的逼迫中提出自己的想法。

“先學后教、以學論教”要防止“先學”變成“先知道”，而不是“先思考”。在學習戰略性概念等內容時，把數學結論藏起來，是給予學生獨立探索、發現問題、大膽猜測、思考驗證、收獲成功的機會。課堂交流展示，不僅要討論個人對現有結論的理解和驗證，還應該找合適的內容組織學生交流：你自己提出了什么想法？你的想法道理何在？然后對照現有的結論交流：現有的結論高明在何處？這一切正如《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的“自己發現和提出問題是創新的基礎;獨立思考、學會思考是創新的核心;歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法”，無論用什么教育模式，創新意識的培養都應貫穿始終。

無論什么時候，當下都是歷史中的一個片段。對于歷史，我們都應心存敬畏。在數學發生、發展的歷史中，我們能看到數學的源與流、美與理，還能看到謬誤與曲折、發現與創造，甚至能透過數學的知性看到其背后的人性……對于數學的教與學來說，所有的這些都是不可或缺的財富。