獨到的，才是不可替代的

【摘要】HPM研究表明，個體的認識過程與人類的認識過程基本是一致的。在“圓的面積”的教學中融入數學史，可以把教材中呈現的素材以知識發生、發展過程的視角進行合理重組，放大“無限分割、化曲為直”極限思想的首次獲得過程，促進學生理解數學本質，領會數學思想，獲得數學感悟。

【關鍵詞】HPM;圓的面積;無限分割;化曲為直

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0016-02

【作者簡介】陳金飛，江蘇省啟東市實驗小學（江蘇啟東，226200）副校長，高級教師，南通市學科帶頭人。

一、課前慎思

我們選擇“圓的面積”的教學作為HPM研究的案例，不僅因為圓是小學階段唯一的曲線平面圖形，更在于人類對“圓的面積”的探索曾被認為是理性追求的巔峰。

翻開數學史可以看到，隨著生產勞動的需要，人類很早就開始探索平面圖形的面積計算方法。在古希臘，人們最先發現正方形的面積計算公式。由此想到，既然正方形的面積可以用公式計算，那么只要做出一個正方形，使它的面積恰好等于圓的面積，就能實現“化圓為方”。著名辯士、詩人安提豐首創圓內接正多邊形的方法來解決“化圓為方”的問題。數學家阿基米德分別用邊數不斷增多的圓內接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長，給出了圓的面積計算公式：圓的面積等于以圓周長為底、半徑為高的三角形的面積。

阿基米德提出的圓的面積計算辦法，相當于我國漢代數學名著《九章算術》中記載的“半圓半徑相乘，得積步”，即圓的面積等于半圓的周長乘半徑。我國魏晉時期數學家劉徽從圓內接正六邊形開始割圓，得到一個正6×2n邊形序列（n=0、1、2……），所得正多邊形的面積越來越接近圓的面積。而古印度數學家把圓切成許多小瓣，把這些小瓣對接成一個近似平行四邊形，再通過分割平移將平行四邊形轉化為一個近似的長方形，用近似長方形的面積代替圓的面積。

17世紀，德國天文學家開普勒受切西瓜的啟發，提出把圓分割成無窮多個小扇形，他認為每個小扇形的面積對應一個小三角形的面積，圓的面積等于無窮多個小三角形面積之和，將這些小三角形等面積變形，最后，構成一個大直角三角形，三角形的底就是圓的周長，三角形的高就是圓的半徑，從而得出圓的面積計算公式S=■cr=πr2。開普勒引入無窮小的概念，跨越了曲與直的直覺理解界限，使得多邊形和圓之間、無窮小面積與直線之間沒有顯著的差別。無限分割、化曲為直的獨到思想溝通了有限與無限，為極限、微積分等現代數學的出現打下了理論與實踐的基礎。

梳理至此，可以發現早在兩千多年前，人們就已經掌握了圓的面積計算方法，不斷變化的是圓的面積計算公式的推導方法——從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在歷史長河中，在數學科學發展的大背景中，看清“無限分割、化曲為直”才是對學生后續學習數學來說最具有價值的，也是我們最應該在教學中孕伏的。

二、教學片段

1.呈現數學困境，引發矛盾，積蓄思維突破能量。

師：你打算用什么方法研究圓的面積？

生：我覺得應該用轉化，如果用數方格的方法，會有一些方格直接露在外面，不能精確地計算圓的面積。

師：通過比較，我們發現如果圓的邊線變直了，測量就更方便、精確了。明白了這一點，接下來咱們就來想辦法把曲線變成直線吧。（板書：化曲為直）

師：有什么辦法可以把圓這個曲線圖形轉化為直線圖形呢？

（四人小組一起動手操作，展示交流。）

師：這么多種轉化方法，你覺得可以分成幾類？

生：兩類，一類是折的，一類是剪了再拼的。

師：觀察這幾種折的方法，你有什么想法？

生：不能折成正方形，把彎曲的部分折掉了。

師：嗯，這種方法不行，面積變小了。再來看另外兩種折法，你發現了什么？

生：折著折著，弧度就有點變直了。

生：折的份數越多，底邊越平直。

師：真善于觀察！采訪一下折成八份的這位同學，為什么不繼續往下折了？

生：紙太厚了，很難繼續折下去了。

師：看來光用折的方法不能實現化曲為直。再來觀察剪拼的圖形，你有什么想法？

生：正方形不行，這個圖形變大了。

師：看來轉化時不能增加也不能減少圖形的面積。觀察剪拼成的近似平行四邊形，與折出來的圖形相比，有什么不足？

生：底邊不平，弧線太彎了。

師：是否可以讓底邊變得平直一些？

生：分割的份數多一些，拼出的圖形底邊可能會更直一些。

2.感悟數學思想，分割轉化，實現極限思想飛躍。

師：事實真的如此嗎？借助電腦幫忙。

（多媒體展示將圓分割成一個個小扇形的過程。）

師：發揮我們的想象力，如果繼續往下分，最后會分出一個怎樣的圖形呢？

生：我覺得會變成一個很小的三角形。

生：說不定那個三角形就沒有了。

生：不可能沒有，我覺得最后會變成一條線。

師：你的想象力真強，跟古代數學家的想法不謀而合。看來我們繼續把圓分割下去，拼出的圖形底邊會變得更直。

師：讓我們閉上眼睛想象一下，如果無限分割這個圓片，最后會拼出一個怎樣的圖形呢？

師：孩子們，通過無限分割，我們居然把圓轉化成了一個長方形，實現了“化曲為直”。這個思想在數學發展史上是具有開創性意義的。

（由長方形的面積計算公式推算出圓的面積計算公式。）

三、教后暢想

課堂中，教師讓學生在觀察“有限分割”的基礎上想象“無限分割”，根據拼成的幾個圖形的變化趨勢想象它們的終極狀態，從而領會：將圓無限分割后可以拼成一個長方形。無形中給課堂注入了數學的深刻和歷史的厚重，敦促學生自覺糾正了“把彎曲的剪掉才能變直”的直觀經驗，引領學生站在微積分的門檻上，真切地感悟數學思想的魅力。

我們主要用“有機滲透、反復感悟”的辦法，組織學生感悟數學思想、積淀數學學習經驗。從推導平行四邊形面積計算方法時，就開始提“轉化”;推導三角形和梯形的面積計算方法時，又講“轉化”;推導圓面積的計算方法時，還是毫無變化地繼續提“轉化”嗎？一個數學思想猶如一個萬花筒，即便還是它，但稍一變化，就能呈現出不一樣的要點與價值。因此，我們需要結合數學思想在不同知識技能形成與運用的過程中展示出的獨到價值，把它挖掘出來并放大呈現，這樣，學生對數學思想和數學經驗的感悟便會豐滿起來。

對于藝術來說，民族的，才是世界的;對于知識來說，獨到的，才是不可替代的。

【參考文獻】

[1]趙銳.基于數學史的“圓的面積”教學案例設計[J].湖南教育，2010（8）：39-42.

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