直觀表征：讓數學問題解決的思維可視化

強振宇 強震球

【摘要】在“數與代數”的教學中，引導學生盡可能地通過圖畫（表）直觀表征抽象的數學問題，為學生分析、解決問題提供“拐杖”，幫助學生理解和接受抽象的數學內容和方法，從錯綜復雜的關系中直觀、清晰地展示數量關系、呈現思維，能夠取得較好的教學效果。

【關鍵詞】直觀表征;問題解決;思維可視化

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0038-02

【作者簡介】1.強振宇，江蘇省江陰市璜塘實驗小學（江蘇江陰，214407），高級教師，無錫市學科帶頭人。2.強震球，江蘇省江陰市實驗小學（江蘇江陰，214400），高級教師，江陰市名教師。

小學生的思維水平處于從具體形象思維向抽象思維過渡的階段，他們的數學學習離不開具體事物的支持。在教學中，將抽象的數學問題與直觀的圖形語言有機結合，將數學問題、看不見的思維過程和方法清晰地呈現出來，充分展現數學問題的本質，有助于學生打開思維的大門，培養直觀意識與能力，提升直觀素養。

一、動態表征：“靜動轉換”現思維

對于動作思維和具體形象思維占優勢的小學生，在教學中，應力求把抽象、靜態的數學問題設計成有形的活動，讓學生在轉換過程中感受具體、動態的數學，彰顯思維。

例如：教學蘇教版三上《長方形和正方形的周長》，有一類“拼圖形求周長”的實際問題，其中“用相同的長方形拼并求周長”的情況比較復雜，學生遇到“拼成的圖形的周長最多是多少”這樣的問題更是束手無策。因此，在教學中應指導學生讓枯燥的文字動起來，在動中感受、體驗、發現、思考并解決問題。（1）拼一拼。用兩張同樣的長方形紙拼成一個長方形，自然生成兩種拼法——兩長相連、兩寬相連。（2）描一描。描出拼成的長方形的周長，兩長相連周長是：2長4寬，拼掉2長;兩寬相連周長是：4長2寬，拼掉2寬。（3）計算周長，比較小結：兩寬相連拼成的圖形的周長長。（4）優化提升方法：拼成的圖形的周長=原來一個長方形的周長×2-拼掉的長或寬。這一拼、一描、一算的動態操作盡顯學生深刻的思維。

二、圖形表征：“圖形語言”現本質

數學本質，從宏觀上講就是數學觀問題，即“什么是數學”，在微觀上是指具體數學內容的本真意義。某個具體內容的數學本質，既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性，更表現為蘊含在具體數學知識與技能中的數學思想方法。因此，在平時的教學中，不能為解題而解題，應該講清楚題目背后的東西、知識的來龍去脈以及實際問題所體現的思想方法……這是能夠讓學生終身受益的。

“連桶稱油”（如：一桶油，連桶稱共30千克，倒出一半的油，連桶稱還有16千克。原來桶里的油有多少千克？桶重多少千克？）是一種常見的實際問題，很多學生難以找到解決問題的關鍵點，個別學生只是“跟著感覺”對數據特征進行拼湊，而說不清數量之間的關系，更不能從“連桶稱油”前后的質量變化中體會到桶質量的不變。因此，解決問題時，可以讓學生用圖形表征“連桶稱油”前后的情況。在畫圖過程中，學生能直觀感覺到：桶和油的質量從原來30千克變成16千克，少的一半質量就是油的質量，兩次稱重桶的質量不變。

在上述啟示之下，還有的學生這樣計算：16×2=32（千克），32-30=2（千克），30-2=28（千克）。看到這樣意外的解答，許多學生一下就蒙了，最不理解的是“16×2=32（千克）”。學生用圖形和假設的思路敘述自己的想法：倒出一半油，連桶稱16千克，也就是說半桶油與1只桶的質量一共是16千克，那么1桶油與2只桶的質量就是16×2=32（千克），因為1桶油與1只桶的質量是30千克，1只桶的質量就是32-30=2（千克），1桶油的質量就是30-2=28（千克）。大家頓時豁然開朗了。學生很好地借助直觀圖形尋求到了解決問題的方法——在圖中解釋，在圖中理解。最關鍵的，在這個過程中，學生運用直觀圖形合情推理，感悟到的是轉化與不變的數學思想。數學學習不僅僅局限于形式化的表達，更重要的是通過表達能正確地認識數學本質，建立人對自身體驗與事物體驗的對應關系。

三、自主表征：“圖形說話”現方法

格式塔心理學認為，通過頓悟問題情境的內在性質來解決問題，可以避免與這一問題情境不相干的大量隨機的、盲目的行動，而且有利于把學習所得遷移到新的問題情境中去。頓悟學習的核心是把握事物的本質，而不是無關的細節。三年級學生開始學習的兩步計算實際問題，大多數是數量關系較直接、簡單的問題情境，學生通常能主動尋找、選擇有用的信息來分析解答。然而，當遇到信息較多、條件相對隱蔽、有點說不清道不明的數學問題時，學生解題時就會胡亂找數量之間的關系。為了避免這種盲目的舉動，培養學生挖掘隱蔽信息的意識和能力，教學時應經常鼓勵、指導學生面對具體問題時用自己理解的圖形來表征題意，啟迪學生思考，自覺建構解題過程。

例如：蘇教版三上“解決兩步計算實際問題”練習中有一道買面包的問題：小麗買了8個面包，小華買了6個面包，小明買了7個面包，小麗比小華多用14元錢，小明花了多少錢？很多學生無從下筆，原因是求不出每個面包的價格。有的學生就通過畫圖找到了問題解決的突破口，思維過程清晰可見：小麗比小華多買的2個面包，就是14元，算出每個面包的價錢，用單價乘數量就是小明花的錢。用畫一畫的方法，把內隱的“多用14元”與“多2個面包”之間的數量關系變得直觀，問題便迎刃而解了。正如數學家克萊因所說：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上。”善于從直觀特征研究問題往往能頓悟問題的解決方法，并能在學生記憶中保持較長的時間。

四、數形結合：“直覺觀念”現理性

數學家拉格朗日曾經說過：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但當這兩門學科結合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美。”因此，在數學化的過程中把數與形有機結合起來，讓學生感悟直觀，建立直覺觀念，是促進數學理解和運用的有效手段。

“籬笆圍苗圃的長方形周長計算”是三年級學生學習“周長”時常見的實際問題。“靠墻圍”計算周長最小值是學生掌握的難點。“靠墻”“至少”等關鍵性詞語對學生而言有與沒有無關緊要：不經意中學生就會用兩長加兩寬的方法來計算。如果學生真正理解了題意——靠墻的長方形苗圃怎么圍，那么，在兩種情況的對比中，“至少”的問題也就能迎刃而解了。（1）動手靠一靠：讓學生用直尺當墻，把長方形紙當苗圃，直觀得出兩種方法（長邊靠、寬邊靠）。（2）指一指籬笆所在的邊。讓學生指出籬笆的幾條邊時，有學生很快回答“2寬1長圍用的籬笆最少”。（3）“果真如此嗎？”接下來分組進行討論，用已有知識來證明“長邊靠墻圍用的籬笆最少”。這樣，直覺的任務已完成，留下來的是形象思維和邏輯思維的任務：分別算出兩種不同圍法所用籬笆的長度，對比答案作解釋。還有學生根據長方形長和寬的特征，結合周長的意義作出了合情推理：長邊靠墻圍籬笆要1長2寬，寬邊靠墻圍籬笆要2長1寬，長方形的長比寬長，顯然長邊靠墻圍籬笆最少。直覺使學生直接深入問題的核心，很快作出了判斷。學生主動直接在紙上畫出兩種圍法，借助圖形思考，更加簡潔快速地獲得了答案，很好地展示了直觀的理性思維。

把學生解決問題時看不見的思維過程呈現出來，教師據此了解學情，及時調整自己的教學，讓學生學習摸得到的數學，有利于讓數學教學回歸本質，提高數學教學的效能。