基于數(shù)學(xué)分析中的反例及其應(yīng)用研究

王倫

摘要：數(shù)學(xué)分析是一門較為重要的基礎(chǔ)課程，它的教學(xué)內(nèi)容較為抽象和形式化，學(xué)生很難理解教學(xué)內(nèi)容中的概念本質(zhì)，更不用說正確的運(yùn)用其中的相關(guān)定理去解決實(shí)際問題。而在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中使用反例教學(xué)有助于幫助學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，提高解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；反例；應(yīng)用研究

【分類號(hào)】O17-4

1.前言

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中的一門重要學(xué)科，很多學(xué)生在這門學(xué)科上栽跟頭。數(shù)學(xué)分析中有較多抽象的概念，枯燥的理論增加了學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的難度，大部分學(xué)生在學(xué)過之后還是感覺一頭霧水，更不用說正確的運(yùn)用有關(guān)的定理解決問題了。因此，為了降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，就把反例引進(jìn)到數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中從而幫助學(xué)生分析解決問題。

2.數(shù)學(xué)分析的概念和基本方法

數(shù)學(xué)分析就是常說的高級(jí)微積分，是專門研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)及其函數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，其主要內(nèi)容一般是微積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)。像非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一般會(huì)學(xué)比較簡(jiǎn)單的微積分，如微積分的連續(xù)性和一些簡(jiǎn)單的可微可導(dǎo)。而數(shù)學(xué)專業(yè)的則需要熟練地掌握難度較大的微積分原理。數(shù)學(xué)分析的基本方法是極限法。極限法就是無窮小法，將函數(shù)擴(kuò)展到無窮小在進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)之上再對(duì)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)收斂的研究。數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日定理、洛必達(dá)法則和柯西不等式都是實(shí)用性較強(qiáng)的定理。數(shù)學(xué)分析能夠幫助數(shù)學(xué)家和天文家解決大量的實(shí)際問題，其影響十分廣泛。

3.反例在數(shù)學(xué)分析中所起到的作用

在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常會(huì)用到反例教學(xué)法，使用反例主要有以下作用：幫助學(xué)生更好地理解一些數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)。書上的概念有些是從正面分析的，但學(xué)生對(duì)這些概念僅僅有一些模糊的認(rèn)識(shí)。他們的思維已經(jīng)僵化了，有時(shí)候換個(gè)方法更利于理解。反例表示由某些事物A滿足條件B，但沒有性質(zhì)C。這樣能避免使用全稱推斷造成錯(cuò)誤的結(jié)果；幫助學(xué)生正確地理解相關(guān)定理的性質(zhì)。在數(shù)學(xué)分析中，大部分定理只有在一定的范圍內(nèi)才能成立，但書上沒有給出定理成立的范圍，只是用一些晦澀難懂的抽象語言進(jìn)行概括，學(xué)生很難理解。比如在微分中值定理的講解中，學(xué)生大都誤認(rèn)為此定理對(duì)一切可微函數(shù)都有效。這時(shí)可以用反例來加深學(xué)生對(duì)這個(gè)定理的理解，用在區(qū)間內(nèi)不存在的值去反證，經(jīng)過推理發(fā)現(xiàn)定理在該值時(shí)不適用，學(xué)生就能明白微分中值定理成立的條件以及適用范圍；幫助學(xué)生把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，并能認(rèn)識(shí)到知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別。學(xué)生在學(xué)習(xí)多元函數(shù)時(shí)，很容易與一元函數(shù)混淆，將一元函數(shù)的性質(zhì)照搬到多元函數(shù)上。這時(shí)用反例來證明多元函數(shù)的連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)的存在性，證明二者之間性質(zhì)的不同，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一元函數(shù)和多元函數(shù)的區(qū)別以及性質(zhì)的不同；幫助學(xué)生形成自己的知識(shí)體系框架，熟練地運(yùn)用定理去處理實(shí)際問題。

4.反例在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常會(huì)用到反例，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：講解無窮大量和無窮小量等一些抽象概念。用一個(gè)較為簡(jiǎn)單的例子來說明，如對(duì)于limf（x）=A，其中x趨向于m，它的定義是對(duì)于任意的?>0，當(dāng)0<│x-m│0， 任意M>0，當(dāng)0<│x-m│