用解析法解決幾個三角形“五心”問題

唐昊天

【摘要】本文依據(jù)三角形“五心”的幾何性質在解析幾何中的簡潔表述，探討一些復雜的平面幾何問題在解析幾何當中的解決方法.

【關鍵詞】三角形“五心”；坐標表示；歐拉線

三角形的內心，外心，中心，垂心，旁心稱為三角形的“五心”.在三角形的“五心”中，如果知道A、B、C的坐標，則重心G的坐標公式可由定比分點公式求得.鑒于線段的中垂線和點到直線的垂線方程在解析幾何當中非常容易求出，外心和垂心的坐標計算可以合理建立坐標系而得到簡化，因此不需要用一個冗長的公式去描述，下面的例題（歐拉線）體現(xiàn)了利用解析法解決關于重心、外心、垂心的問題的思路.

圖 1例1 已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H.求證：O，G，H三點共線，并且HG=2OG.

證明 如圖1，以BC所在直線為x軸，A 到BC的垂線所在直線為y軸建立直角坐標系，并設A（0，a），B（b，0），C（c，0）.

則Gb+c3，a3，xH=0，xO=b+c2.

顯然，B到AC的垂線點斜式方程為

y=ca（x-b）H0，-bca ；

AB的垂直平分線方程為y-a2=bax-b2Ob+c2，bc+a22a.

要證明O，G，H三點共線，只需證

b+c3a310-bca1b+c2bc+a22a1=0，

即證-bcab+c31b+c21-b+c3a3b+c2bc+a22a=0，

即bc（b+c）6a-[（b+c）（bc+a2）6a-a2（b+c）6a]=0.

此式顯然成立，故O、G、H三點共線.

用兩點間距離公式平方得

OG2=b+c62+3bc+a26a2，

HG2=b+c32+a3+bca2=4b+c62+43bc+a26a2.

∴HG=2OG.

關于三角形的內心和旁心，我們先證明一個引理，然后利用向量的性質可以得到它們輪換對稱的坐標表示.

引理1 在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c.則I 是△ABC的內心的充要條件是aIA+bIB+cIC=0→.

證明：先證充分性.

∵IB=IA+AB，IC=IA+AC，IA+bIB+cIC=0→，

∴（a+b+c）IA+bAB+cAC=0→，

∴AI=ba+b+cAB+ca+b+cAC，

∴AI=bca+b+cABAB+ACAC.

亦即I在∠A 平分線上，同理可證I在∠B和∠C平分線上.

再證必要性.

IB=IA+AB，IC=IA+ACaIA+bIB+cIC=（a+b+c）IA+bAB+cAC.

不妨假設∠A 平分線交BC于D，則AB=DB-DA，AC=DC-DA.

bAB+cAC=-（b+c）DA.而DAIA=a+b+cb+cbAB+cAC=-（a+b+c）IA.

于是aIA+bIB+cIC=0.

假設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由引理及向量的坐標表示易得Iax1+bx2+cx3a+b+c，ay1+by2+cy3a+b+c.類似地，對于旁心有以下結論：IA 是△ABC的旁心 （定義BC=a，AC=b，AB=c.而且IA在∠A的內角平分線上.）的充要條件是aIA-bIB-cIC=0.

因此IAax1-bx2-cx3a-b-c，ay1-by2-cy3a-b-c，

同理有IBbx2-ax1-cx3b-a-c，by2-ay1-cy3b-a-c，

ICcx3-bx2-ax1c-b-a，cy3-by2-ay1c-b-a.

下面的例題體現(xiàn)了三角形內心和旁心坐標公式的應用.

圖 2例2 如圖2，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.I，G分別是△ABC的內心和重心，而且AB+AC=3BC，求證IG⊥BC.

證明：由橢圓的定義，A在以B，C為焦點，長軸長度為3BC的橢圓M上，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設B（-t，0），C（t，0），橢圓M的方程為x29t2+y28t2=1.

設A（x1，y1）Gx13，y13

而xI=2tx1-tb+tc2t+c+b.

注意到c-b=2ex1，c+b=6txI=8t÷38t=13x1=xG，又因為BC所在直線為x軸，故IG⊥BC.

引理2 如圖3，已知在△ABC中，設AB>AC，過A作△ABC的外接圓的切線L.又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB 于D；交直線L于E，F(xiàn).則DF過△ABC的旁心IA.

說明：引理2為2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第二試第一題.

圖 3例3 如圖3，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.設AB>AC，過A作△ABC的外接圓的切線L.又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB 于D；交直線L于E，F(xiàn).過點C作DF平行線交L于P，求證：AP=ab-b2c.

證明：由引理，IA∈lDF.

以A為原點，EF為x軸，EF中垂線為y軸建立直角坐標系，

并設B（x1，y1），C（x2，y2），E（b，0），F(xiàn)（-b，0）.

∴l(xiāng)DF：y=y1x1+c（x+b），IAbx1+cx2b+c-a，by1+cy2b+c-a.

IA∈lDFy1x1+cbx1+cx2+b（b+c-a）b+c-a=by1+cy2b+c-a.y1x1+c（bx1+bc+cx2+b2-ab）=by1+cy2.y2=y1x1+cx2-ab-b2c.

注意到，這個結論等價于過（x2，y2） 且以y1x1+c 為斜率的直線橫截距為ab-b2c，而∵lCP//lDF，∴klCP=y1x1+c.

∵C（x2，y2）∈lCP，

∴AP=ab-b2c.