線性代數教學方法初探

劉響林

【摘要】《線性代數》這門課具有概念多且抽象、概念之間密切相關、計算量大且繁瑣等特點，所以探討如何學好線性代數是很有必要的.通過舉例的方式，從教與學兩個方面談如何學好《線性代數》，并提出了七點見解.

【關鍵詞】線性代數；教學方式；學習方式

【基金項目】廣西高等教育教學改革工程項目，探索線性代數初等變換法的教學新模式（2013JGB430）.

線性代數有三個基本計算單元（行列式，矩陣，向量組），通過研究它們的性質、運算法則、相關定理，可以幫助求解線性方程組，實現線性變換，構建向量空間和歐式空間.解線性代數題的兩個基本方法是構造（分解）和代數法，基本思想是化簡降階和同構變換.

線性代數是高等數學的一大分支，是經濟類、管理類等學生必不可少的基礎性課程——它不僅為后續課程（諸如，理工專業的信號與系統、自動控制原理等；經管類專業的微觀經濟學、數量經濟學等）的學習提供必備的數學基礎知識[1]，也是實踐中重要的基礎性工具.它的基本內容包括行列式、矩陣、向量組的線性相關性、線性方程組、矩陣對角化、二次型、線性空間與線性變換等.與其他學科相比較，一方面，線性代數是一門全新的學科，一時半會學生很難理解和接受；另一方面，由于抽象、知識點多、前后連貫性強，因而對于學習者來說，具有一定的挑戰性，學習難度也增大，耗時也增長.因其抽象難懂，學習不便，對授課者的要求也會更高更嚴，需要授課者在授課時更能精準的抓重點、指難點、析要點.換句話說，授課者本身要對教材、對知識點如數家珍，胸有成竹，同時，要有良好的教學方式方法，因材施教、深入淺出.筆者根據幾年來的教學實踐和經驗，提出自己的一些粗淺的見解，與大家共同學習、研討.

為讓學習者能夠較好的掌握線性代數的概念、定理、性質及相關應用，筆者試圖從以下幾方面與大家探討：

（1）授課者在講授線性代數的過程中，開始就要讓學習者充分了解掌握學科背景、基本定理、運算法則以及他們的前因后果、來龍去脈.引導式的教學方法適合線性代數的教學，學習者跟隨授課者一起，從背景出發、順引例指導、沿概念前進、以定理為航標，由具體提煉抽象，用具體檢驗抽象，再將抽象回歸到具體，可使學習者在學習的過程中思路清晰，不僅對概念、定理有充分的認識，對抽象出來的性質也會更牢記于心，運用自然.例如，在講行列式的概念時，可以從計算平行四邊形的面積引入.以向量OA=（a1 ，a2），OB=（b1 ，b2）為鄰邊做一個平行四邊形OAPB，做向量OB1=（ b2，-b1）.根據向量的知識可得SOAPB=|OA||OB|sin∠AOB=|OA||OB|cos∠AOB-2[]π=|OA||OB1|cos∠AOB1 =OA·OB1=a1 b2-a2b1=a1b1a2b2.在講GramSchmidt正交化過程的時候，可以從計算平行六面體的體積入手.求以向量α，β，η為棱的平行六面體的體積？先算以向量α與向量β所確定的平行四邊形的面積，即把向量α取成底，再算向量β在向量α的投影得出高；再算平行六面體的高，即向量η在向量α與向量β所確定的平面的投影.既然如此，就可以用Gram-Schmidt正交化過程把α，β，η正交化，相應于矩陣就是QR分解[α，β，η]=QR，Q是正交陣，R是對角元為正數的上三角陣，det（[x，y，z]）=±det（R），det（Q）決定了符號，事實上R（1，1），R（2，2），R（3，3）分別是向量α、向量β在向量α上的投影與向量η在向量α，β所確定的平面的投影的長度，所以det（R）就是體積.指出n階行列式是將其本質抽象出來而推廣的一個概念.在講向量組等價問題時，先列舉兩個簡單的且學生很容易看出這兩個向量組可以相互線性表示的向量組（A）和向量組（B），例如，向量組A： α1 =（1，1，1），α2=（1，2，0） ； 向量組B：β1=（1，0，2），β2=（0，1，-1）.顯然 α1=β1+ β2，

α2==β1+2β2；β1=2α1- α2，β2=-α1+ α2 從而推出等價的概念.

（2）講概念時，對概念層層分析的同時還需舉出相應的例子，通過實例來分析理解概念，如有必要還需列舉一些與概念相關的變式題或反例給學生做，使學生通過做題更好地理解其真正的含義及用法.比較的研究和學習方法對授課者和學習者來說，能收到事半功倍的效果.授課者在講授線性代數中諸多相似的、相近的概念時都可以帶領學習者對其進行比較學習.通過比較，學習者可以深刻理解掌握不同概念、定理間的內涵、外延以及彼此間的異同.例如：矩陣的三種關系：等價、相似、合同.從字面上看，等價、相似與合同都是近義詞，這時候如果采取比較的方法，就可以清晰的了解他們的內涵、外延及應用.一比較可以看出，秩一樣，矩陣等價；正定性一樣，矩陣合同；矩陣特征值一樣，矩陣相似.相似必合同，合同必等價.

（3）在教學過程中，授課者和學習者應嚴格區分線性代數和中學知識的異同.例如，有關矩陣的運算，并不像數那樣直接相加（減）、乘（除），而是要遵守嚴格的運算法則和特殊條件.矩陣相加，不是任意兩個矩陣都可以相加，必須要是同型矩陣（兩個矩陣的行數和列數分別相等）才可以.兩矩陣相乘，并不是任意兩個矩陣都可以相乘，只有當第一個矩陣的列數與第二個矩陣的行數相等時，兩個矩陣相乘才會有意義.矩陣的乘法滿足結合律，但是不滿足消去律和交換律.所以學習線性代數時，要忘掉以前的成規，進入到它的學習體系.

（4）授課者和學習者應要秉承細致嚴謹的態度.線性代數的概念多、性質復雜，概念之間聯系密切、計算量大等都是其他數學課程所難以比擬的，甚至諸多的符號都表示其特殊的含義.這就需要授課者和學習者細致嚴謹，記牢記清，辯同區異，不能想當然.例如，不同符號標示的位置、行列式與矩陣符號的區分、運算時行列式與矩陣的位置及矩陣的初等變換過程用箭頭表示而利用行列式的性質計算行列式的值的過程用等號表示等等都會失之毫厘，謬以千里.如果教學時不嚴謹，張冠李戴，就容易犯錯.

（5）循循善誘，激發學習者的學習興趣；由淺入深，樹立學習者的信心；旁敲側擊，引導學習者獨立思考.授課者在授課時應思路清晰，由淺入深，由易到難，從熟悉的到陌生的，從通俗的到抽象的，循序漸進，這樣學習者才能觸類旁通，前后連貫，又不感覺吃力緊張，同時還能提高學習者抽象思維和邏輯推理的能力.例如，計算平行四邊形的面積和平行六面體的體積都是學習者輕車熟路的技能，然而用行列式來計算它們的面積和體積卻不是人人都會的.授課者可以從用行列式來計算簡單的、已為學習者熟知的知識開始，引導他們深入學習行列式以及應用.當然授課者也應根據實際需要留給學習者一定的獨立思考時間，而不能一味的灌輸，從而使學習者能夠融會貫通，前后呼應.另外，興趣是最好的老師，是放之四海而皆準的真理.用一些諸如學習者能理解的應用案例來啟發學習者的興趣，也是行之有效的方法.

（6）在授課中注意黑板教學與多媒體教學的有機結合.教師可在適當的時候，利用數學軟件演示行列式運算、矩陣運算、解線性方程組等，開拓學生視野，增強學生應用計算機解決數學問題的能力.所以在教學方法上，我們可以采用多媒體教學與黑板教學的結合.

（7）在線性代數的教學中，教師往往只進行大量的講述和計算，而不注重數學的應用，從而給學生一種學而無用的錯覺[2].因此，在適當的時候，教師可以列舉一些與線性代數相關的應用題，增強學生應用數學知識解決實際問題的能力及讓學生感受到線性代數是一門有用的學科.

以上內容是本人通過多年的教學實踐總結出來的幾點見解.雖然前人們已經探討了探究性教學模式、類比式學習模式以及應用現代計算技術的實踐模式在線性代數教學實踐中的應用[3].但是面對不同的學生，線性代數的教學法還是大相徑庭.因此，教師們還得通過不斷的教學實踐，不斷地總結與探討，尋找出最適合學生的教學方法.

參考文獻

[1]陳向勇，邱建龍，周建偉.線性代數課程教學改革探索[J].湘南學院學報，2014，05：59-63.

[2]周貴祥.以問題為背景的線性代數教學方法初探[J].大眾文藝，2010，17：214.

[3]陳鳳娟.線性代數的教學研究[J].高師理科學刊，2012，01：74-76.