故事中的數學 數學中的故事

王培順

數學證明中常常采用直接證法，由已知到結論，順理成章。然而對于間接證法的反證法，大多數同學不能深刻理解，難以走出直接證法的局限。其實，反證法可以解決直接證法難以解決的問題。正面強攻不成，迂回包抄獲勝。

反證法的基本思想是：對于相互矛盾的兩個判斷，如果其中一個錯了，那么另一個一定是對的，這是邏輯學上的排中律，不能同假，必有一真。據此，要證明一個數學命題的成立，只要證明其反面是錯誤的即可。

在教學中，為方便學生理解反證法，我用幾何命題的形式改編了幾則故事，收到了良好的效果，理解透徹、記憶深刻、激發興趣。

故事一：道旁苦李

王戎七歲的時候，和小朋友們一道玩耍，看見路邊有株李樹，結滿了熟透的李子，枝條都快被壓斷了。那些小朋友爭先恐后地跑去摘。只有王戎沒有動。有人問他為什么不去摘李子，王戎回答說：“這一定是苦李子?！闭獊硪粐L，果然是這樣。

故事到這，我用幾何命題的形式改編如下：已知：路邊李子樹上結滿了熟透的李子。求證：李子一定是苦的。

此時，懸念產生，讓學生討論，找出原因。

答案揭曉：證明：假設李子是甜的。那么這樹長在大路邊上，熟透的李子早被路人摘光了?？墒恰敖Y滿了熟透的李子，枝條都快被壓斷了?！倍呦嗝?。

所以，李子是苦的。

這個故事寫王戎小時候，善于動腦筋，能根據有關現象進行反正的推理判斷。他是一個聰明的孩子。

故事二：我“活”了

古代有一賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去有功，用抽紙片的形式決定他的命運，用兩張紙片，一張寫“活”字，一張寫“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒，命人在兩張紙片上都寫上“死”字。詭計被賢臣的朋友知道，告訴了賢臣。賢臣想了想，高興地說：“我活了！”

賢臣據此做了一道幾何題：已知：兩張寫有“死”字的紙片，我抽取一張。求證：我“活”了。至此，疑團頓生，讓學生開動腦筋，自主解決或討論解決。

答案揭曉：證明：假設我“死”了。那么沒有抽到的紙片一定寫“活”字?？墒且驗閮蓮埗际恰八馈弊?，所以沒有抽到的紙片一定是“死”字。此二者矛盾。所以我“活”了。

處決前抽紙片開始了，只見他抽出一張紙片誰也不讓看就吞下了肚，監斬官只好看剩下的紙片，剩下的字無疑是個“死”字，于是賢臣被赦免了。

賢臣為什么能死里逃生？賢臣巧妙運用了反證法。“死”字的反面是“活”字。反正法也是一種逆向思維，習慣上是要看抽到的紙片，但是我偏要讓你看沒有抽到的紙片。

故事三：聰明的女兒

3歲的女兒不聽話，媽媽說：“再不聽話把你扔出去，再撿一個回來?！?/p>

小女孩調皮地說：“你肯定不能把我扔出去?！苯又终f了一句話，母親啞口無言。

故事用幾何命題的形式改編如下：

已知：把不聽話的孩子扔出去，再撿一個孩子回來。

求證：不聽話也不能扔出去。

為什么？小女孩接下來說的話是什么？讓學生想一想、猜一猜、說一說。

答案揭曉：證明：假設不聽話的孩子就扔出去。那么扔出去的孩子都是不聽話的。所以撿回來的孩子也是不聽話的?！叭映鋈ゲ宦犜挼摹薄皳旎貋聿宦犜挼摹倍呙?。所以不聽話也不能扔出去。小女孩接下來說的話應該是：“你撿回來的孩子也一定是不聽話的?！比龤q小孩就如此聰明，會用反正的思想駁倒母親。我們要努力學習了。

把幾則故事改變成幾何命題形式并給予反正法的證明，使學生通過事實形象地理解了反證法的思想。再結合例題歸納出反證法的基本步驟：（1）反設——假設原命題的反面成立。（2）歸謬——從反設開始推理，得出矛盾結果?？梢耘c已知或事實或定理矛盾。（3）存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立。

反證法能提高學生的演繹推理能力，豐富學生的解題思路，尤其在后續的學習中起著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但還是要學，不應輕視。數學的教學不要只顧眼前的“考點”，而要打造出有后進的學生。數學強，學生強，求學的路就長。

編輯 溫雪蓮