高等代數(shù)教學(xué)的線與面

鐘梅

【摘要】從兩個角度探討了高等代數(shù)的教學(xué)：一個角度是問題提出及問題解決的線索，另一個角度是知識結(jié)構(gòu)、研究工具及數(shù)學(xué)思想方法等層面.

【關(guān)鍵詞】 高等代數(shù)；教學(xué)；線索；層面

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課程，它對學(xué)生抽象能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)，以及后繼課程的學(xué)習(xí)，甚或提高學(xué)生的素質(zhì)與能力都起著非常重要的作用.而學(xué)好高等代數(shù)首先環(huán)節(jié)就是要掌握好高等代數(shù)的基本理論及研究問題的基本線索和基本方法.

高等代數(shù)的教學(xué)一般是按一定的章節(jié)順序進(jìn)行，學(xué)生會關(guān)注每個知識點，但對前后知識點的相互聯(lián)系、相互滲透、相互作用關(guān)注不夠、體會不深，形成的知識體系是點狀的，這樣的教學(xué)不利于學(xué)生深入理解高等代數(shù)的內(nèi)容.因此，高等代數(shù)教學(xué)還應(yīng)通過教學(xué)的各個環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生線狀和面狀地學(xué)習(xí)高等代數(shù)，這樣有利于學(xué)生宏觀深入地理解高等代數(shù)的理論，形成合理完善的知識體系.

一、高等代數(shù)教學(xué)的一些線索

當(dāng)代美國數(shù)學(xué)家P.R.Halmos說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，因而數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解.正因如此，任何一門數(shù)學(xué)課程的教學(xué)離不開“問題”和“解”.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.在高等代數(shù)教學(xué)中，我們可通過“問題”及“問題解決”的線索引導(dǎo)激勵學(xué)生自己形成高等代數(shù)的一些基本思想，發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)理論中的一些關(guān)系，而不是把已有的結(jié)論強加給他們；利用“問題”的提出和“問題解決”的基本方法引導(dǎo)學(xué)生更關(guān)注思維和推理，而不是死記硬背一些固有的結(jié)論.這樣的高等代數(shù)學(xué)習(xí)才能是鮮活的、有效的.

高等代數(shù)的每一章每一節(jié)都在討論問題解決問題，教師可根據(jù)具體內(nèi)容設(shè)計問題提出和問題解決的大致線索，下面就某一些具體章節(jié)舉例說明.

1.問題提出的線索

文[1]中第四章線性方程組討論的主要問題是線性方程組有解的判定，有解時解的求法及解的表示，問題提出的線索可簡單表示如下：

2.問題解決的線索

文[1]中第四章線性方程組的問題解決的線索概括如下：

線性方程組

增廣矩陣行初等變換行階梯陣秩若判定有解，繼續(xù)行初等變換 行最簡形

解的一般表示

文[1]中第六章向量空間主要從三個層次探討了向量空間的結(jié)構(gòu)：第一個層次是利用基，指出了任意一個向量空間的結(jié)構(gòu)由它的一個基決定.而維數(shù)對研究有限維向量空間的結(jié)構(gòu)起著極其重要的作用.第二個層次是利用子空間及其直和來刻畫向量空間的結(jié)構(gòu).第三個層次是利用同構(gòu)來刻畫向量空間的結(jié)構(gòu)，得到了任何n維向量空間與Fn同構(gòu)的結(jié)論.上述內(nèi)容可簡單概括如下：

大量實例抽象出向量空間定義基、維數(shù)、坐標(biāo)向量空間的結(jié)構(gòu)子空間向量空間的結(jié)構(gòu)同構(gòu)向量空間的結(jié)構(gòu)

以上討論的“問題的線索”和“問題解決的線索”可以幫助學(xué)生了解高等代數(shù)知識發(fā)生、發(fā)展的脈絡(luò)，學(xué)習(xí)一些探究問題的基本思路和方法.

二、高等代數(shù)教學(xué)的一些層面

雖然高等代數(shù)的教學(xué)是按一定的章節(jié)順序一個知識點一個知識點地進(jìn)行，但高等代數(shù)這門課程的內(nèi)容不是零散的知識點的簡單組合，而是有著嚴(yán)密邏輯關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu).所以教師要做到整體備課，注意挖掘知識系統(tǒng)縱橫聯(lián)系，以幫助學(xué)生建立合理的知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu).

1.內(nèi)容結(jié)構(gòu)層面

高等代數(shù)的整個內(nèi)容大致可分為兩大部分：一部分是多項式理論，一部分是線性代數(shù)，在學(xué)習(xí)之初，根據(jù)教材的安排對這些做一簡單概括.隨著學(xué)習(xí)的深入，設(shè)法在學(xué)生的腦中逐步形成一些內(nèi)容層面圖，這些層面圖包含主要的知識點及其之間的聯(lián)系.例如下兩個層面圖：

上面第一個層面圖有利于學(xué)生較全面清晰地認(rèn)識線性方程組、矩陣及向量空間Fn之間的聯(lián)系和作用.而第二個層面圖有利于學(xué)生整體直觀地認(rèn)識把握線性代數(shù)的主要內(nèi)容.

2.宏觀研究工具層面

高等代數(shù)的研究對象是離散的演算系統(tǒng)，主要工具是矩陣.特別是在高等代數(shù)的線性代數(shù)部分，矩陣的應(yīng)用是最廣泛的.線性方程組、向量空間、線性變換及二次型中的許多問題都可轉(zhuǎn)化為矩陣問題，利用矩陣這個工具來討論，所以許多人認(rèn)為線性代數(shù)實質(zhì)上是矩陣代數(shù).這些觀念有助于學(xué)生宏觀地、深入地理解和認(rèn)識高等代數(shù).下面把矩陣與其他內(nèi)容的一些關(guān)系概括如下：

矩陣矩陣的初等變換、秩線性方程組過渡矩陣、矩陣的行（列）空間向量空間線性變換的矩陣、相似矩陣線性變換對稱矩陣、正交矩陣歐氏空間合同矩陣、正定矩陣二次型

3.數(shù)學(xué)思想方法層面

一個好高等代數(shù)教師不但要善于傳授課本知識，還要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)課本知識內(nèi)容后面的思想方法.這不僅有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握高等代數(shù)知識，還有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的素質(zhì).高等代數(shù)課程中體現(xiàn)的思想方法很多，這里不一一闡述，但典型代數(shù)研究問題的主要基本思想方法概括如下：

典型的代數(shù)思想方法空間的直和分解方法同構(gòu)方法等價分類方法

高等代數(shù)教學(xué)的探討是一個宏大的課題，這里只是從建立合理知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)方面做了一些基本的探討.如何讓高等代數(shù)的教學(xué)更有效、更鮮活是需要我們不斷探索的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張禾瑞，郝钅丙新.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]林亞南，林鶩.建設(shè)“高等代數(shù)”精品課程的思路與實踐[J].中國大學(xué)教學(xué)，2008（4）：17-18.

[3]丘維聲.代數(shù)系列課程教學(xué)改革的理念和實踐[J].中國大學(xué)教學(xué)，2005（6）：20-21.

[4]徐仲，等編.高等代數(shù)（導(dǎo)教·導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)考）[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[5]賀繼康.高等代數(shù)課程結(jié)構(gòu)簡論[J].陜西教育學(xué)院學(xué)報，2003，19（4）：77-79.