“一分都不能少”

伍亦亦

【摘要】分類討論是一種重要的邏輯方法，也是中學數學中經常使用的數學思想方法之一，突出考查學生思維的嚴謹性和周密性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題、解決問題的能力，能體現“著重考查數學能力”的要求.

【關鍵詞】分類討論；教學

雖然學生在初中數學的學習中，已經接觸并運用這種思想，但針對高中數學學習的要求，還是不夠的，需待進一步深入和提升.故教師在高一時若能引導學生理解、掌握分類討論思想的精髓，對學生整個高中數學的學習及考試中能否取得理想的分數有著非常重要的作用.

片段一：高一教學“集合”

問題1：若集合A=x|ax2+2x+1=0只有一個元素，求實數a的值.

學情：學生們看到這個題目立刻進行思考和解答，過了不久，學生們陸續得出結果.

教師：請學生A回答.學生A：給出的結果為a=1.

教師：再追問學生A結果確定正確嗎？學生A：非常肯定回答“確定”.

教師：再問全班同學，基本上都是表示同意.只有少數幾名學生好像不同意.結果就請其中的一位即學生B回答.

學生B：給出的結果為a=1或a=0，并說明他解題的思路.

錯因：為什么會出現不同的情況呢？原來條件中沒有明確說明方程ax2+2x+1=0是二次方程還是一次方程，因此解題時應分一次方程和二次方程兩種情況討論.

正解 根據題意，當a=0時，方程為2x+1=0，所以x=-12，A=-12，滿足題意.

當a≠0時，二次方程ax2+2x+1=0有兩個相等的實數根，則Δ=0，即22-4a=0，所以a=1.因此實數a的值為0或1.

點評：解此題學生考慮不全面，容易誤將方程當作一元二次方程，造成漏解.

問題2：已知A={x|-1

RA，

求實數m的取值范圍.

教師：讓同學自己動手解題，邀請學生C上來板書，其結果如下：

解 由已知得，

RA={x|x≤-1或x>3}，而B

RA，所以可以得到1+3m≤-1或m>3，解得m≤-23或m>3.

教師：請其他學生主動為學生C的解答進行點評.

學生D：不完全同意學生C的解法，他指出主要問題出在未對集合B進行分類討論而造成誤解.

正解 因為B

RA，所以應分成如下兩種情況：

當B=時，即m≥1+3m得m≤-12滿足B

RA；

當B≠時使B

RA，即m<1+3m1+3m≤-1或m<1+3mm>3，解得m>3.

綜上所述，m的取值范圍是-∞，-12∪3，+∞.

點評：解此題學生容易考慮子集不全面，往往會忽略空集這種情況，結果造成漏解和誤解.

自我反思：

通過上面教學片段的分享，我有如下幾點的體會和反思.

1.如何真正鞏固和落實分類討論思想于學生的思維中，為其活用.首先教師要尊重學生思維發展的局限性和漸進性.教師需要通過一系列有難度梯度的題目反復對學生進行訓練、引導和鞏固.在過程里讓學生多多自己動手做題，以獲得更多的主觀感受和經歷.允許學生出錯，但教師一定要及時且耐心地引導，使學生從本質認識問題的所在.

2.分類討論思想的鞏固一定要趁早.在高一的時候，教師就要在教學中潛移默化地引導學生了解、理解和掌握這種思想.幫助他們在解題的里面，真正達到“一分都不能少”的目標.