偏微分方程課程教學改革探索

賈艷

摘要：偏微分方程是大學本科數學專業的一門專業基礎課，主要研究一些具有實際背景的數學物理方程。針對這門課程內容繁、難、課時少的特點，從教學內容、教學方法與教學目標等方面提出了根據專業和教材的特點確立不同的教學目標、精選教學內容、改變教學手段與教學方法、注重教學與科研相結合、改變考試方式等新形勢下的教學改革，提高了課堂教學的效果。

關鍵詞：偏微分方程，教學內容，教學方法，教學目標

中圖分類號： G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）10（a）-0000-00

The teaching reform of the Partial differential equation

JIA Yan

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230039， P. R. China））

Abstract： Partial differential equation is a professional basic course with specialized mathematics of the university undergraduate course. It mainly researches some mathematical physics equations with practical background. This article put forward some ideas and understanding about According to the characteristics of the professional and teaching materials to establish different teaching goals ，Select the teaching content and the teaching method ， Combination the teaching and scientific research， change the way of examination ，from the teaching content， teaching method and teaching goal with the course content is numerous， difficult， the class hour is less . It improve the effect of classroom teaching.

Key Word：Partial differential equation，Teaching content，Teaching method，Teaching goal

偏微分方程是眾多描述物理、化學和生物等現象的數學模型的基礎。近年來已經擴展到經濟、金融分析、圖像處理等領域[2]。本科偏微分課程主要來源于數學物理和理論物理中的一些連續介質模型。通過講授一些典型數學物理方程的導出，解的適定性和解的性質來培養學生掌握偏微分方程的理論、方法和技巧，為后續學習打下堅實的基礎。

偏微分方程對學生的大學數學基礎要求很高，與其它數學分支有緊密聯系。因此在教學過程中容易出現以下幾個問題：一、學生學習該門課程的知識儲備不夠，要想學好偏微分方程要求學生有比較扎實的“數學分析”、 “實變函數”、“復變函數”、“泛函分析”以及相關的大學物理知識。二、課程的理論性過強、內容多、難度大。學生感覺學習枯燥，乏味，提不起興趣。無論是方程的導出還是解的適定性問題求解過程往往麻煩、冗長、計算量大，學生容易產生畏難情緒。教師教的也累，上課效果不是很好。三、課程內容與后續學習的內容連接不上。本科階段的偏微分課程遠遠不能滿足一些專業后續學習的需要，很多學生反映在繼續深造的過程中發現一些知識學了的用不上，要用的沒學過。針對以上幾點，結合作者的實際教學，從教學內容、教學方法與教學目標等方面提出了一些認識和想法，在教學過程中取得了一定的效果。

1 根據專業和教材的特點，確立不同的教學目標

偏微分方程是我校應用數學專業的一門必修課程，從課程的地位來說，它是專業基礎課，對于后續課程的學習起著很重要的作用。因此根據專業的不同選用的教材也應有所不同，針對不同的專業確立符合專業的教學目標，以確保學有所用。例如我校應用數學專業選用的教材是陳祖墀編寫的《偏微分方程》（第2版）。這本教材的特點是內容論述詳細、嚴密。主要內容分為復變函數和數學物理兩大板塊，比較適合純理科的學生學習。教學目標要求學生在學習基本理論和求解方法的同時，注意理解處理問題的思想方法。而對于物理，材料等工科專業選用的教材是谷超豪等編寫的《數學物理方程》，這本教材比較適合于應用物理專業的教學內容，該教材對不同的內容設立不同的教學要求，在保持數學物理方法框架的前提下， 削減了許多具體的教學內容，比如二階擬線性偏微分方程的分類、拉普拉斯變換、變分法等.在教學目標上除了要求學生掌握數學理論部分還要求學生要理解特殊函數部分的內容，體現這些內容在力學、材料、能源及生物等領域較強的應用背景。對于信息與計算科學專業的學生應該側重于偏微分方程數值解。在教學目標上側重于掌握有限差分方法、有限元方法、有限體方法、多重網絡等方法。因此，結合課程的實際問題，教學目標應該側重于以下兩點：首先，以教材內容為主，讓學生掌握必要的理論知識和數學工具。其次，培養學生的數學建模思想、解題技巧和方法以及利用偏微分方程的相關知識解決實際問題的能力。

2 結合專業，精選教學內容

偏微分方程具有知識點多，觸及領域廣，理論性強，計算量大等特點，而近年來由于人才培養模式的改變，該課程在很多學校只有54個學時（我校為72學時）。在課時不充分的情況下，應根據專業和培養方案精選上課內容，以便在有限的課時內學生的學習效率最大化。教師在教學的過程中有必要對教學內容、教學計劃、教學重點等根據大綱要求并結合專業進行科學調整，督促學生提前復習相關知識，提高上課質量。例如對于應用數學專業的教學，主要講授內容應是二階擬線性偏微分方程的相關理論。重點介紹波動方程、熱傳導方程、調和方程這三大方程的導出，問題的提法以及解的適定性。我們在講課的過程中重點介紹二階線性偏微分方程的分類、一階擬線性偏微分方程的特征線理論、突出分離變量法、球面平均法、傅里葉變換法、格林函數法在二階擬線性偏微分方程中的作用，詳細介紹一維波動方程的行波解，分離變量法，高維波動方程的球面平均法的基本思想、應用條件等。再通過舉例、歸納、總結對比后掌握這些基本方法的精髓。對于其它方法可以作簡單概述或者讓學有余力的同學學習。

3 改革教學方法與考試方式

3.1 突出背景知識的介紹，培養建模思想

偏微分方程主要來源于物理和工程技術以及一些實際問題，很多方程都有實際的物理背景，每一類方程都是根據實際的物理現象，通過物理定律建模得到的，方程的定解也有物理意義。介紹相關的背景知識可以讓學生明白為什么要研究這類方程，偏微分方程能解決什么問題。例如我在講授熱傳導方程的導出時，先給出了一個模型：給定空間內的一個物體G（要求該物體是由均勻的、各項同性的介質組成），u（x，t） 表示物體在點x時刻t時的溫度。問題是研究該物體溫度的變化規律。這一規律可以用熱傳導方程來描述，它是拋物型方程的典型代表，具有豐富的物理背景。因此我們在上課的過程中引導學生用熱量守恒定律與傅里葉熱傳導定律以及微積分的相關知識對這一問題進行建模，并著重分析各種物理條件在建立數學表達式時的實際意義，讓學生學會用偏微分方程建立數學模型的基本思路和基本方法。這樣學生通過對這一方程的背景知識的了解，對方程中各個變量有一個直觀的認識，有利于對方程的解的物理意義的了解，有利于對最大值原理這一重要內容的學習，從而加深了對這一方程的理解。

3.2 改變教學手段與教學方法

由于偏微分方程涉及的概念、公式和定理比較多，在教學中我們應采用多種教學方式相結合的方法提高學生的學習積極性。首先，重視啟發式和討論式的課堂教學。例如對于第五章位勢方程的內容，我們采用的就是討論式的課堂教學。我們嘗試在課堂上先著重介紹位勢方程的來由，再引入Green函數的概念，然后請學生自己完成對這個特殊函數性質的描述和刻畫。我們將這些內容進行一定的劃分，把每個知識點作為課堂討論的內容。學生通過收集，整理資料，然后進行課堂討論。在討論的過程中學生如果有問題教師當場解決或者請同學們一起討論，加深學生對這一知識點的了解，營造一種求知的學術氛圍。充分發揮學生的主體作用。另外我們提倡學生掌握解題技巧，一題多解，例如我們在介紹熱傳導方程的初邊值問題解的唯一性和穩定性時鼓勵學生從極值原理、最大模估計、能量方法等不同角度去考慮問題。其次，利用多媒體課件和計算機軟件輔助教學。由于偏微分課程的特點，目前大多數老師仍以傳統的課堂教學為主，而少數教師則喜歡用多媒體課件教學。傳統的板書能更好地引導學生去感受和思考數學邏輯的推導過程，有利于加深對數學理論的理解和認識，培養學生的邏輯和思維能力。但是多媒體課件可以讓學生更直觀，更全面的理解知識點。另外使用多媒體課件還可以節省大段公式的板書時間[3]。所以我們認為應該把兩種教學手段結合起來，對一些定理，公式圖表以多媒體展示，尤其是我們可以把一些復雜的物理現象例如波的彌散通過多媒體展示可能更加直觀，對一些演算過程則要板書。 根據內容選擇合適的教學手段。

3.3 教學與科研相結合

近年來偏微分方程特別是非線性偏微分方程在各個領域中出現，有各種不同的研究方法.例如輸運方程在控制問題、種群演化問題、疾病傳播問題、流體力學問題等方面都有廣泛應用[4]。我們在講課的過程中可以適當引進新的理論，新的方法，開拓學生的視野，激發學生的興趣。例如在介紹一階擬線性偏微分方程時可以介紹一下超音速流和激波的相關知識，在介紹二維波動方程初邊值問題解的唯一性時，我們可以引導學生用能量法解決一般形式n維的雙曲型偏微分方程解的唯一性和穩定性。這些小問題有助于學生科研能力的培養。近年來我校卓越班實行導師制，導師每星期與學生有一定的見面時間給學生提供一些參考文獻，也可以讓學生參與自己的教學項目和科研項目中，提高學生的科研能力，取得了一定的效果。

3.4 改變考試方式

目前我校采用的考試方式是知識與能力相結合的綜合評價方法，即平時成績和期末考試相結合的綜合評價體系，其中平時成績占30%，包括考勤和作業，期末考試成績占70%。這樣的綜合評價方法雖然比較全面的反映學生的學習效果。但是還是有一部分學生平時不學習，期末的時候寄希望于老師劃重點，臨時抱佛腳。筆者認為要改變學生只重視課程成績，在期末時才開始背筆記應付考試的不良習慣，應加強對學生平時學習情況的考察.學生的平時成績可由作業、討論課上表現、以及小論文等部分組成。尤其是對一些善于提出問題、發現問題的學生不能以期末成績作為唯一的評價標準。采用以上多種方式結合的考核形式，更能檢測學生的學習過程。

4 結語

針對偏微分方程的特點，從教學內容、教學方法與教學目標等方面提出的教學改革與探索在實際教學中取得了一定的教學效果，消除了學生學習偏微分方程的畏難心里，激發了學生學習的積極性。取得了很好的考核成績。

參考文獻

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行，鄭宋穆，譚永基. 數學物理方程（第三版） [M]. 北京：高等教育出版社，2012.

[2] 張渭濱.數學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2007.8.

[3] 鄒永魁. 偏微分方程數值解課程的思索[J]. 科技信息，2012，14 （9）： 200-201.

[4] 湯燕斌，吳娥子.應用偏微分方程課程教學改革探討[J]. 大學數學，2013，（29）：1-4.