高中數學概率問題實驗教學

張波

【摘要】針對高中數學中的古典概率問題，設計了實驗教學方法.每個實驗案例都是從一個實際問題出發，來討論分析如何解決這個問題.一共設計了3個教學案例，每個教學案例基本上包括了“問題提出——建立數學模型——分析研討——計算機處理——思考”的過程.

【關鍵詞】實驗教學；案例教學；古典概率

1.引言

傳統的數學教育主要注重理論知識教育，主要講解數學的概念、定理、公式和法則，學生的學習過程只是被動地學習數學而很少主動地應用數學，學生主體作用得不到發揮.因此需要變革傳統的數學教學和學習方式，數學教學需要聯系實際應用，要與計算機結合起來，學生不僅僅靠聽課和看書接受數學知識，而且要親自動手去“學數學”和“用數學”，數學實驗課就是讓學生自己動手，借助計算機，自主探索，綜合運用所學的知識解決實際問題.中科院院士、北京大學姜伯駒教授對建立數學實驗課十分重視，他認為“應該試驗組織數學實驗課程，在教師的指導下，探索某些理論或應用的課題.學生的新鮮想法借助數學軟件可以迅速實現，在失敗與成功中得到真知.這種方式變被動地灌輸為主動地參與，有利于培養學生的獨立工作能力和創新精神”.

數學實驗課按照數學教學大綱所確定的教學目的，強調學生的動手能力，通過數學實驗加深對數學思想的了解，鞏固數學基礎知識，加深對基本理論、基本方法的理解；掌握簡單的數據處理方法，學會使用數學軟件解決數學問題；提高應用數學知識分析問題、解決問題的能力，掌握基本的數學建模方法和技巧，為將來的進一步學習與工作打下一定的數學基礎.同時在教師指導下用學到的數學知識和計算機技術分析、解決一些經過簡化的實際問題，培養學生的數學興趣，從而進一步提高學生“用計算機做數學”的能力.

2.教學案例

案例一：優質車輛的選擇

問題的提出：兩人去某風景區游玩，每天某一時段開往該風景區有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序.兩人采用了不同的乘車方案：甲無論如何總是上開來的第一輛車.而乙則是先觀察后上車，當第一輛車開來時，他不上車，而是觀察車的舒適狀況，如果第二輛車的舒適程度比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛車不比第一輛好，他就上第三輛車.如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：

（1）三輛車按出現的先后順序有哪幾種不同的可能？

（2）你認為甲、乙采用的方案，哪一種方案使自己乘上等車的可能性大？為什么？

問題應用背景：通過研究樣本空間與隨機事件，利用古典概率公式計算隨機事件的概率，利用數學解決實際問題.

涉及知識點：樣本空間、隨機事件.

解題思路：本題是求乘上等車的可能性，學生需要通過分析找到本問題樣本空間，也就是三種等級的車輛的所有順序，然后研究甲與乙乘上等車這兩個隨機事件所包含的樣本點的個數，利用古典概率公式來計算各自的概率.

解答過程：

第1步，直觀分析問題，得到樣本空間.

通過觀察，我們發現三輛車出現的先后順序的所有可能為：{上中下上下中中上下中下上下中上下上中}，一共有P33=6種可能，包含有6個基本事件，每一個基本事件均是樣本空間的一個樣本點.

第2步，分析隨機事件“甲上上等車”.

甲無論如何總是上開來的第一輛車，依據樣本空間得到：“甲上上等車”={上中下上下中}，“甲上上等車”是一個隨機事件，隨機事件是樣本空間的一個子集，這個隨機事件包含兩個基本事件，即是包含兩個樣本點.

第3步，分析隨機事件“乙上上等車”.

乙則是先觀察后上車，當第一輛車開來時，他不上車，而是觀察車的舒適狀況，如果第二輛車的舒適程度比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛車不比第一輛好，他就上第三輛車，根據乙上車的方式及本問題的樣本空間得到：“乙上上等車”={中上下中下上下上中}，“乙上上等車”這個隨機事件包含有三個基本事件，即包含三個樣本點.

第4步，根據古典概率計算公式，分別計算兩個隨機事件的概率.

P{甲上上等車}=26=13，

P{乙上上等車}=36=12.

問題延伸：李紅和張明正在玩擲骰子游戲，兩人各擲一枚骰子.（1）當兩枚骰子點數之積為奇數時，李紅得3分，否則，張明得1分，這個游戲公平嗎？為什么？（2）當兩枚骰子的點數之和大于7時，李紅得1分，否則張明得1分，這個游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請你提出一個對雙方公平的意見.

案例二：賭徒下賭注問題

問題提出：賭徒德梅萊在賭博中注意到一對骰子擲多次，有時把賭注押在“至少出現1次雙6”比賭注押在“沒出現雙6”有利，有時則相反，他找不到原因，后來他請教了輪盤賭的發明人法國科學家萊茲·帕斯卡才弄清楚原因.當投擲骰子的次數為n時，請你代替帕斯卡為德梅萊設計一個有利的投注策略.

問題應用背景：計算隨機事件序列發生的概率.

涉及知識點：古典概型，對立事件的概率，獨立性及乘法公式.

解題思路：首先計算投擲一次，“沒有出現雙6”的概率.然后利用獨立性及乘法公式計算n次投擲中，“沒有出現雙6”的概率，并用對立事件的概率計算得出“至少出現1次雙6”的概率.其次要考慮隨投擲n次的變化，兩個概率的大小比較，進而為賭徒設計出更為有利的投注策略，完成解題.

解答過程：

第1步，先計算投擲1次，“沒有出現雙6”的概率.

一對均勻的骰子投擲一次，“出現雙6”的概率是136，由對立事件概率公式，“沒出現雙6”的概率是3536.

第2步，再計算投擲n次，“沒有出現雙6”的概率及“至少出現1次雙6”的概率.

一對均勻的骰子投擲n次，由獨立性及乘法公式得“沒出現雙6”的概率是3536n，則由對立事件的概率公式“至少出現1次雙6”的概率為1-3536n.

第3步，考慮n次投擲中，兩個事件發生概率的比較.

顯然當n=1時，“沒出現雙6”的概率3536大于“至少出現1次雙6”的概率136，此時押注“沒出現雙6”對賭徒更為有利.

但是注意到3536<1，所以當n增大時，3536n將變小，并最終趨于零.因此必然存在某個n，為兩個概率大小關系的臨界值，即在該值前后，概率的大小關系出現逆轉.令

1-3536n=3536n，

即

0.5=0.972n，

解得

n=log0.9720.5≈24.4.

也就是概率大小關系的臨界值為25.

第4步，根據概率隨投擲次數n的變化關系，設計投注策略.

由上面的分析，顯然當投擲次數n小于25次時，“沒出現雙6”的概率大于“至少出現1次雙6”的概率，此時押注“沒出現雙6”對賭徒更為有利.而當投擲次數等于或大于25次時，情況恰好相反.

為德梅萊設計一個的投注策略可以表示如下：

投擲次數

押注策略

取勝概率

n<25

沒出現雙6

3536n>0.5

n≥25

至少出現1次雙6

1-3536n>0.5

問題延伸：小概率事件在無限次重復試驗中必然出現的原理.

在上述問題中我們看到雖然投擲一對骰子“出現雙6”的概率很小為136≈0.028，但是當投擲次數n無限增大時，“沒出現雙6”的概率3536n將趨于零，其對立事件“至少出現1次雙6”的概率將趨于1，即

limn→∞1-3536n=1.

這說明小概率事件當重復試驗次數無限增大時幾乎是必然要出現的.

案例三：賭徒與賭場

問題提出：18世紀法國科學家萊茲·帕斯卡發明了輪盤賭，他設計的這個裝置讓許多人發財致富，同時又讓更多人傾家蕩產.蒙特卡羅輪盤賭機上有37個小槽，編號從0到36，轉盤每轉一次停下后，盤上的小金屬球就會落進其中某個小槽.賭客的賭注可以壓在單數或雙數上，0號槽被看作既非單數又非雙數.美國賭場的輪盤賭稍有不同，輪盤賭機上既有0號槽又有00號槽.請分析兩地的輪盤賭機，賭場的收益率和賭徒押中賭注的概率分別是多少？帕斯卡設計的輪盤賭機是公平的賭博嗎？

問題應用背景：計算隨機事件序列發生的概率.

涉及知識點：古典概型，對立事件的概率，獨立性及乘法公式.

解題思路：賭場的收益率是在等可能的情況下計算數字0或數字0和00出現的概率，賭徒押中賭注的概率是單數或雙數（除0或00外）在37（或38）個數字中出現的概率.

解答過程：

第1步，先計算賭場的收益率.

蒙特卡羅賭場的輪盤賭中，當小球落入0號槽時，既非單數又非偶數，賭場可以通吃全部賭注，因此賭場獲得收益的概率就是數字0出現的概率，考慮所有數字出現是等概率的，則賭場的收益率為137，約為2.7%.美國賭場的輪盤賭中，除0號槽外還有00號槽，賭場可以通吃全部賭注，因此賭場獲得收益的概率就是數字0或00出現的概率，考慮所有數字出現是等概率的，則賭場的收益率為238，約為5.26%.

第2步，計算賭徒押中賭注的概率.

在蒙特卡羅賭場的輪盤賭中，單數和雙數出現的概率均為1837，因此賭徒押中賭注的概率為1837，約為48.6%.在美國賭場的輪盤賭中，單數和雙數出現的概率均為1838，因此賭徒押中賭注的概率為1838，約為47.4%.

第3步，分析輪盤賭機是否是公平的.

在輪盤賭中押單數或雙數，看似機會相等，實際卻是一場不公平的賭博.雖然平均來看一半的賭注會押在單數上，另一半的賭注會押在雙數上，而賭場會把從這一半賺到的錢賠到那一半上去，然而數字0或00的設置才是確保賭場在輪盤賭中穩賺不賠的秘訣.從上面的概率計算中我們已經看出賭場的收益率無論是蒙特卡羅的2.7%，還是美國的5.26%都是很可觀的.而對于賭徒，無論他押注什么，獲勝的機會都不會超過一半.從我們的分析中，賭徒能得到的啟發或許只是如何在兩個壞的輪盤賭中選擇一個不是最壞的.

3.結語

課題組通過調研和閱讀大量文獻，提出了案例教學法.我們始終堅持以學生為本的“學生是學習主體”“教師是教學關鍵”教學理念.在教學方法上狠下工夫，不斷探索教學方法.項目組老師提倡除采用傳統的啟發式教學外，還結合學生實際和學校專業特點，注重新的教學方法的引進與吸收，尤其應結合數學建模，采用啟發式、案例式、討論式等教學方法，啟發學生課內課外的學習積極性、主動性，充分發揮學生的思維能力和想象能力，使他們在課堂上得到最大的收益.

課題組針對高中數學中的概念部分內容，設計實驗課教學的基本框架：即教學實驗都是從一個實際問題出發，來討論分析如何解決這個問題.一共設計了3個教學案例，每個教學案例基本上包括了“問題提出——建立數學模型——分析研討——計算機處理——思考”的過程.由于這一模式由實際問題導出相應的方法和理論，有的放矢，針對性強，符合人們的認識過程；另一方面具有相對的獨立性和完整性，便于靈活安排；同時這種模式也強調了實驗與教學相結合，達到以實驗輔助教學的目的.項目組在設計案例時，結合了學生專業的特點，注重調動學生的學習興趣和創新意識，在課程教學中為學生留有充分的自由，留有發揮的余地和空間.我們在數學實驗的案例、任務和完成方式等各個方面都有意識地體現出多樣性和靈活性，讓學生可以自主選擇.課題組編寫的案例教學實驗素材，選取范圍涉及領域廣泛，內容力求典型生動；通過實驗介紹相應的數學知識、數學模型和數值方法.我們始終堅持以學生為本的“學生是學習主體”“教師是教學關鍵”教學理念.希望通過小論文等形式培養學生的興趣，培養學生的創新能力.