保角變換法計算兩共焦拋物板間等勢線和電場線

王 全

（南通大學理學院，江蘇 南通 226007）

在解決復雜邊界形狀的電磁學問題時，利用分離變量法或格林函數法解拉普拉斯方程、泊松方程較為煩瑣，甚至無法解決；利用保角變換法能將復雜邊界問題變為簡單邊界問題，從而使問題變得簡單、直觀，便于解決.例如文獻[1]用拋物柱坐標系通過解拉普拉斯方程得到電勢分布函數，文獻[2]利用解析函數的性質和柯西-黎曼條件，根據拉普拉斯方程直接推測得到等勢線方程，從而導出兩共焦拋物板間的電場分布.文獻[3]指出利用保角變換中的冪指數變換可將拋物線轉換成直線，但未能給出該問題的解.本文通過冪指數變換，給出兩共焦拋物板間等勢線和電場線的解析解，并利用數學工具繪制出電場線和等勢線圖，同時對保角變換法在電磁學中的應用進行討論.

1 兩共焦拋物線的變換

圖1為z平面的兩共焦拋物線，其共同的焦點為坐標原點，可通過冪指數變換函數式（1），將z平面上的兩共焦拋物線變換成ω平面上的兩條直線，如圖2所示.

圖1 z平面上的兩共焦拋物線

圖2 ω平面上的兩條直線

在式（1）中，z＝x＋yi，ω＝u＋vi，所以

根據式（2），x＝u2-v2，y＝2uv，令v＝（其中c是大于零的某一常數），則

式（3）中消去u，可得

式（4）即為拋物線方程，在z平面上其焦點為坐標原點，取不同的c，在z平面上構成共焦拋物線.根據變換函數式（1），共焦拋物線在ω平面上是的直線.

2 兩長直共焦拋物導體柱間的等勢線

兩長直共焦拋物導體柱的電勢與三維空間的z軸無關，因此其等勢面就轉化為二維平面的等勢線.根據保角變換，z坐標系中的兩長直共焦拋物導體柱表面變換成ω坐標系中的兩無限大平面，z平面上的等勢線與ω平面上的等勢線互為變換.

兩無限大平行板之間的等勢線平行于板，在ω平面上即為的一系列直線，因此根據逆變換，在z平面上的等勢線方程為式（4）的共焦拋物線族，如圖3所示.該結果與文獻[1]、[2]結果通過坐標互換后相同.

圖3 兩長直共焦拋物導體柱間的等勢線

圖4 兩長直共焦拋物導體柱間的電場線

3 兩長直共焦拋物導體柱間的電場線

兩無限大平行板之間的電場線垂直于板，在ω平面上即為u＝d（d為某一常數），v的取值范圍為c1＜v＜c2的一系列線段，因此根據式（2），可得

式（5）中消去v，可得

式（6）即為兩長直共焦拋物導體柱在z平面上的電場線所遵循的方程，表明其電場線也是拋物線的一部分（由于v有取值范圍），取不同的d，在z平面上構成共焦拋物線族（焦點為坐標原點），如圖4所示.該結果與文獻[2]結果通過坐標互換后相同.

4 討論

對兩長直共焦拋物導體柱間的電勢和電場的研究可以發現：通過保角變換解決復雜邊界的電磁學問題可化繁為簡，形象直觀，就是在兩坐標系之間建立某個映射，從而簡化拉普拉斯方程、泊松方程的邊界條件，方便地獲得解析解，再通過逆變換得到原問題的解.

在拉普拉斯方程和泊松方程中，φ是勢函數，而非矢量，所以利用保角變換處理問題時，一般是ω平面上的勢函數通過逆變換得到z平面上的勢函數.對于矢量逆變換要謹慎.例如在本文中，在ω坐標系中兩無限大平行板之間的電場是勻強電場，電場強度的大小處處相等，如果通過逆變換，那么在z坐標系中的兩長直共焦拋物導體柱之間任一點的電場強度也相等，顯然是錯誤的.

總之，利用保角變化解決復雜電磁場問題時，本質上是在兩坐標系之間建立點與點、線與線（例如本文中的電場線）之間的映射，而對于矢量的大小是不能映射的.

[1]朱國斌，陳鋼，陳夢姣.用拋物柱坐標求解兩共焦拋物板間的電勢和電場[J].大學物理，2011，30（11）：56-57.

[2]賈秀敏，蘇景順.再論兩共焦拋物導體柱板間的電場分布[J].大學物理，2013，32（12）：10-11.

[3]Schinzinger R，Laura P A A.Conformal Mapping：Methods and Application[M].New York：Dover Publications，INC，2003：38.