基于相關準則的稀疏微波成像方位向采樣優化方法

蔣成龍趙 曜張 柘③張冰塵洪 文

①(微波成像技術國家重點實驗室 北京 100190)

②(中國科學院電子學研究所 北京 100190)

③(中國科學院大學 北京 100190)

基于相關準則的稀疏微波成像方位向采樣優化方法

蔣成龍*①②③趙 曜①②張 柘①②③張冰塵①②洪 文①②

①(微波成像技術國家重點實驗室 北京 100190)

②(中國科學院電子學研究所 北京 100190)

③(中國科學院大學 北京 100190)

稀疏微波成像將稀疏信號處理理論系統性地引入微波成像中，與傳統合成孔徑雷達成像相比，具有提高成像質量、降低系統復雜度等優點。稀疏采樣方式是影響稀疏微波成像重建質量的重要因素。該文主要研究方位向稀疏采樣的優化問題，分析了稀疏微波成像觀測矩陣的相關系數與重建能力的關系，在此基礎上提出一種基于相關系數的優化準則，并對方位向稀疏采樣參數進行優化。仿真結果驗證了所提優化方法的有效性。

合成孔徑雷達；稀疏微波成像；方位向采樣；相關準則

1 引言

隨著高分辨率、寬測繪帶等遙感觀測要求的提出，以合成孔徑雷達(SAR)[1]為代表的現代微波成像系統數據率急劇增加，對數據的獲取、傳輸以及處理等過程帶來巨大挑戰。

稀疏微波成像[2]是將稀疏信號處理與微波成像理論兩者相結合所形成的新理論、新體制和新方法，在降低數據率和系統復雜度、提升系統成像性能等方面具有潛在優勢。當觀測場景可被稀疏表征時，稀疏微波成像能夠利用稀疏采樣進行無模糊重建，從而降低系統數據量。稀疏采樣方式是影響觀測矩陣稀疏重建性質的重要因素之一[2]。相關性條件是度量觀測矩陣稀疏重建性質的常用指標，稀疏信號處理方面已有若干理論分析結果[3-6]。文獻[3,4]指出當未知信號的稀疏度與觀測矩陣最大相關系數滿足一定關系時，通過求解1最小化問題能在無噪條件下精確地、或噪聲條件下穩健地重建出該信號。文獻[5]進一步推導了稀疏重建誤差與觀測矩陣最大相關系數的數量級關系。文獻[6]提出觀測矩陣的平均相關系數更適合衡量觀測矩陣的稀疏重建性能。在稀疏信號處理應用于雷達成像方面，相關性條件提供了稀疏采樣方式影響重建質量的分析工具[7-11]。文獻[7]利用點擴展函數(PSF，等價于最大相關系數)分析聚束式SAR中不同稀疏采樣方式與稀疏重建結果中虛假目標嚴重程度的關系。文獻[8]根據相關系數準則利用正交信號構造條帶式SAR的觀測矩陣從而提高稀疏重建性能。文獻[9]提出基于平均相關系數和信噪比組合的多發多收雷達采樣方式優化準則，分析不同稀疏采樣方式下檢測概率與虛警概率的關系。文獻[10]研究了觀測矩陣相關系數的分布對重建質量的影響，指出當相關系數集中分布時可使重建結果中產生較少虛假目標。文獻[11]進而采用t%平均相關系數評估單站/多站聚束式SAR在不同稀疏采樣下的稀疏重構質量。

條帶式SAR是重要的SAR觀測模式，本文主要研究條帶式SAR方位向稀疏采樣的優化問題。方位向稀疏采樣有均勻抽取、隨機抽取以及隨機抖動等方式[2]，合理的稀疏采樣方式能夠改善觀測矩陣的稀疏重建性質，在相同采樣數條件下提高稀疏重建質量。由于稀疏信號處理中研究的觀測矩陣多為傅里葉陣或隨機陣、聚束式SAR的觀測矩陣為傅里葉陣，而條帶式SAR觀測矩陣類似于Toeplitz矩陣，所以上述研究稀疏采樣的結論[3-11]不能直接用于解決條帶式SAR的方位稀疏采樣優化問題。

本文綜合考慮了觀測矩陣的平均相關系數及其分布，提出一種基于相關系數的條帶式SAR方位采樣優化準則，并利用基于模擬退火原理的優化算法進行方位向稀疏采樣策略的優化。仿真實驗結果表明了所提優化方法的有效性。本文結構如下，第2節介紹稀疏微波成像的方位向信號模型；第3節根據條帶式SAR的特點提出了單通道/多通道下基于相關系數的優化準則以及優化算法；第4節利用實驗結果說明所提方法的有效性；最后給出總結。

2 信號模型

其中，列向量y, x與n分別表示回波數據、離散場景以及熱噪聲；觀測矩陣Φ中第m行l列上的元素為

2.1 單通道SAR觀測模型

條帶SAR方位向信號模型可表示為

其中，τ為方位向時間，t為目標的波束中心穿越時刻；wa(?)為天線方位向的方向圖；f0為載波頻率；c為光速；r(τ-t)表示τ時刻平臺與位于t目標的瞬時距離。

2.2 多通道SAR觀測模型

方位向多通道模型[12]可表示為

其中，yi(i=1,2,…,I )為第i通道的觀測數據，I為接收通道數；Φi為相應通道的觀測矩陣。假定由第1通道發射信號，則在遠場條件下，第i通道的觀測矩陣Φi中第m行l列的元素為

2.3 稀疏微波成像

針對上節描述的SAR觀測模型，基于ql正則化的稀疏微波成像模型[2]為

其中，λ是正則化參數，q是正則化格式，取01q＜≤獲得稀疏解。由稀疏信號處理理論可知，稀疏采樣方式影響觀測矩陣Φ的稀疏重構性能，進而影響稀疏微波成像質量。

3 采樣方式優化與設計

3.1 采樣方式

稀疏微波成像的關鍵問題之一是研究保持成像質量同時減少回波數據量[2]。根據稀疏信號理論，稀疏采樣方式是影響觀測矩陣稀疏重建性質的重要因素之一，滿足高斯隨機分布的觀測矩陣具有較優的稀疏重構性能。在信號源、采樣數等其他系統參數確定的條件下，合理選擇方位稀疏采樣方式可獲得最優觀測矩陣。常見的方位向稀疏采樣方式可概括如下：

(1)采樣時刻mτ由目標時刻lt的線性組合構成，即

其中，滿采樣的SAR觀測矩陣Η是Toeplitz矩陣；Θ為稀疏降采樣矩陣。硬件可實施的降采樣方式包括均勻抽取和非均勻抽取。非均勻抽取獲得的重建質量優于均勻抽取的重建質量[2]。

(2)采樣時刻mτ在均勻降采樣基礎上附加適當的隨機抖動量：

其中，lα為系數。它可描述滿足奈奎斯特采樣率條件下的數據抽取模型，此時觀測模型可簡化為

其中，α=M/L為降采樣率，抖動量δm為隨機變量，這種采樣方式為隨機抖動采樣[13]。隨機抖動采樣的最小間隔需滿足系統參數的約束。設計特定抖動序列可提高觀測矩陣稀疏重建性能，改善稀疏微波成像質量，同時能夠采集測繪帶盲區的回波，擴大測繪帶寬[14]。

3.2 優化準則

本節以基于相關性條件的準則對條帶式SAR方位向采樣方式進行分析與優化。觀測矩陣Φ的第l與l′列之間的相關系數定義為

條帶式SAR的方位向觀測矩陣是Toeplitz矩陣，以TerraSAR-X系統條帶模式[15]為例計算觀測矩陣的相關系數，如圖1(a)所示。觀測矩陣相關系數是列間距離(l-l′)的函數，滿采樣時的相關系數隨列間距離增大而迅速減小，如圖1(b)所示；采用隨機降采樣時(l-l′)≠0處的相關系數都增大，如圖1(c)所示；采用均勻降采樣時相關系數在特定列間距離位置有較強相關性，如圖1(d)所示。降采樣引起特定列間距離處相關系數增大，稀疏重建時不易排除來自這些位置的干擾，進而產生虛假目標。所以考慮相關系數的分布可獲得更為有效的相關系數優化準則，從而指導方位向采樣方式設計。

基于上述分析以及已有的研究成果[7-11]，本文給出基于相關系數的優化準則。首先定義相關系數集合Cp，其元素構成觀測矩陣相關系數中平方和最大的p(0＜p＜1)部分。

其中，ε為對應的閾值。相關系數的支撐度量pd定義為

則優化準則可表示為

圖1 條帶SAR觀測矩陣及不同采樣方式下的相關系數示意圖

其中，0＜βp＜1約束了p相關系數的支撐度量上界。該準則各項意義如下，目標函數表示觀測矩陣的平均相關系數，衡量觀測矩陣相關系數的整體水平；約束條件表示相關系數的分布，度量稀疏重建時允許出現的誤差范圍。支撐度量取合理數值范圍時，較小的平均相關系數可提高稀疏微波成像的重建質量。當觀測矩陣是正交陣時，?l≠l′有μll′(Φ)=0且dp(Φ)=0。

3.2.1 單通道優化準則 利用2.1節的方位向觀測矩陣可得條帶式SAR觀測矩陣列間相關系數為

3.2.2 多通道優化準則 當方位向采用多通道技術時，觀測矩陣列間相關系數為

又因為

則多通道相關系數的分子絕對值之內的部分為

歸一化觀測矩陣列向量的能量后，優化準則表示為

當llω′較小時，多通道的平均相關系數近似是單通道的1/I。由于多通道優化準則與單通道的優化準則類似，下文將以單通道為例開展實驗，驗證本文所提準則的有效性。

式(14)，式(19)屬于組合優化問題。當方位向稀疏采樣方式為隨機抽取時，可利用基于模擬退火[16,17]算法求解最優采樣方式。該算法屬于局部搜索算法，給予充足計算時間能以概率收斂到全局最優解[17]。

4 實驗

本節通過仿真實驗說明所提優化準則的有效性，并且驗證優化采樣方式在場景重建方面的優勢，最后給出實際數據的成像結果。

4.1 實驗1

實驗1說明所提優化準則可有效評估不同稀疏采樣方式下條帶SAR的稀疏重建結果。仿真參數：天線長度為4.8 m，平臺等效速度為7282 m/s，脈沖重復頻率為3761 Hz，載波頻率為9.65 GHz。場景采樣點數為3072，網格分辨率為1.93 m，點目標位于場景中心。隨機抽取的采樣數為49616 m+,m=1,2,…,161；均勻抽取的降采樣數為512m, m=1,2,…,6；隨機抖動采樣的最高脈沖重復頻率等于3761 Hz。仿真數據利用稀疏重構算法[2,18]獲得重建結果，實驗采用蒙特卡洛方法重復100次。

圖2是相關系數、支撐集度量以及相對均方誤差rMSE的變化曲線，其中，x為場景后向散射系數真實值，x?為x的稀疏重建結果。由圖2可知，均勻抽取和均勻降采樣的支撐度量大于隨機抽取和隨機抖動方式的支撐度量，故均勻抽取和均勻降采樣的rMSE高于隨機抽取和隨機抖動的rMSE。由于均勻采樣方式相關系數分布還存在如圖1(b)所示的峰值，且其能量在降采樣50%左右存在最大值，所以均勻抽取與均勻降采樣的支撐度量存在先增后減的變化。另外，由圖2(c)可知，當降采樣率較小時，保持相同最小采樣間隔時隨機抖動采樣的rMSE略大于隨機抽取的rMSE；而降采樣率增加到80%左右時，前者的rMSE則略小于后者的rMSE，這也與80%降采樣率時隨機抖動的支撐度量較低相對應。

4.2 實驗2

實驗2說明所提優化采樣方式能有效提高觀測矩陣的稀疏重建性質。目標幅度為1，相位在(],ππ-之間，目標隨機分布在場景中；降采樣率為40%。無噪條件下，目標數為采樣數的0.25%～10%，采用蒙特卡洛方法重復1000次；有噪條件下，信噪比為目標數為采樣數的10%，采用蒙特卡洛方法重復500次。

圖3是優化采樣、隨機抽取以及均勻降采樣的正確重建概率、虛假目標概率以及rMSE分布情況。正重建概率定義為，虛假目標概率定義為，其中，T表示目標位置的集合，為T的補集，δ為允許誤差范圍(實驗取0.99),表示計算非零元素的個數。由圖3(a), 3(b)可知，當稀疏度為10%時，優化采樣方式的正確重建概率比隨機抽取、均勻降采樣的分別高出5%，10%，且其虛假目標概率比隨機抽取、均勻降采樣低了一倍。另外，由圖3(c)可知，SNR=20 dB時，優化采樣下的rMSE比隨機抖動、均勻降采樣分別小了20%和50%。所以，在相同條件下，采用優化采樣方式能恢復更多目標，且減少虛假目標出現概率；在信噪比合適時，優化采樣方式能有效提高重建質量。

圖2 不同降采樣方式與相關系數、支撐集度量以及rMSE的關系曲線

圖3 優化的采樣方式、隨機抽取采樣方式以及均勻降采樣方式的稀疏重建性能

圖4 RadarSat場景常規成像結果與稀疏微波成像結果，能量經過歸一化

4.3 實驗3

實驗3說明優化采樣方式可用于實際數據的稀疏微波成像。圖4為RadarSat數據[19]滿采樣、75%均勻抽取、75%優化降采樣下，常規成像結果與稀疏微波成像結果對比。其中，優化降采樣方式的結果略優于隨機抽取，故不展示隨機抽取的結果。由圖4可知，降采樣引起的方位模糊與強目標旁瓣分別在稀疏微波成像中得到抑制，同時圖像灰度對比度也提高了。

5 結論

本文研究了相關系數對條帶式SAR觀測矩陣稀疏重建性質的影響，在此基礎上提出一種基于相關系數的方位向采樣優化準則以及基于模擬退火的方位稀疏采樣優化算法；仿真實驗結果驗證了所提準則和優化算法的有效性。

[1] Wiley C. Synthetic aperture radars: a paradigm for technology evolution[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1985, 21(3): 440-443.

[2] Zhang Bing-chen, Hong Wen, and Wu Yi-rong. Sparse microwave imaging: principles and applications[J]. SCIENCE CHINA Information Sciences, 2012, 55(8): 1722-1754.

[3] Donoho D. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[4] Donoho D, Elad M, and Temlyakov V. Stable recovery of sparse overcomplete representations in the presence of noise[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(1): 6-18.

[5] Cai T, Wang L, and Xu G. Stable recovery of sparse signals and an oracle inequality[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56(7): 3516-3522.

[6] Bajwa W, Calderbank R, and Mixon D. Two are better than one: fundamental parameters of frame coherence[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2012, 33(1): 58-78.

[7] Patel V, Easley G, Healy D, et al.. Compressed synthetic aperture radar[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2010, 4(2): 244-254.

[8] 江海, 林月冠, 張冰塵, 等. 基于壓縮感知的隨機噪聲成像雷達[J]. 電子與信息學報, 2011, 33(3): 672-676.

Jiang Hai, Lin Yue-guan, Zhang Bing-chen, et al.. Random noise imaging radar based on compressed sensing[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2011, 33(3): 672-676.

[9] Yu Y, Petropulu A, and Poor H. Measurement matrix design for compressive sensing–based MIMO radar[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(11): 5338-5352.

[10] Bar-Ilan O and Eldar Y. Sub-Nyquist radar via Doppler focusing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(7): 1796-1811.

[11] Stojanovic I, ?etin M, and Karl W. Compressed sensing of monostatic and multistatic SAR[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, 2013, 10(6): 1444-1448.

[12] Currie A and Brown M. Wide-swath SAR[J]. IEE Proceedings F : Radar and Signal Processing, 1992, 139(2): 122-135.

[13] Balakrishnan A. On the problem of time jitter in sampling[J]. IRE Transactions on Information Theory, 1962, 8(3): 226-236.

[14] Hong Wen, Zhang Bing-chen, Zhang Zhe, et al.. Radar imaging with sparse constraint: principle and initial experiment[C]. Proceedings of 10th European Conference on Synthetic Aperture Radar, Berlin, Germany, 2014: 1-4.

[15] Werninghaus R. TerraSAR-X mission[C]. Proc. SPIE 5236, SAR Image Analysis, Modeling, and Techniques VI, Barcelona, Spain, 2004: 9-16.

[16] Metropolis N, Rosenbluth A, Rosenbluth M, et al.. Perspective on equation of state calculations by fast computing machines[J]. Journal of Chemistry and Physics, 1953, 6(21): 1087-1092.

[17] Granville V, Krivánek M, and Rasson J. Simulated annealing: a proof of convergence[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1994, 16(6): 652-656.

[18] Tian Ji-hua, Sun Jin-ping, Lu Song-tao, et al.. NUFFT-based fast reconstruction for sparse microwave imaging[J]. Journal of Electromagnetic Waves and Applications, 2013, 27(4): 485-495.

[19] Cumming I and Wong F. Digital Signal Processing of Synthetic Aperture Radar Data: Algorithms and Implementation[M]. Norwood, MA, US, Artech House, 2004: Appendix A.

蔣成龍： 男，1987年生，博士，研究方向為SAR信號處理、星載稀疏微波成像系統設計與信號處理.

趙 曜： 男，1984年生，研究員，研究方向為稀疏信號處理、稀疏微波成像性能研究.

張 柘： 男，1988年生，博士，研究方向為信號與信息處理、稀疏微波成像算法.

張冰塵： 男，1973年生，研究員，研究方向為信號與信息處理、雷達信號處理與系統設計.

洪 文： 女，1968年生，研究員，博士生導師，研究方向為信號與信息處理、雷達信號處理與系統設計.

Azimuth Sampling Optimization Scheme for Sparse Microwave Imaging Based on Mutual Coherence Criterion

Jiang Cheng-long①②③Zhao Yao①②Zhang Zhe①②③Zhang Bing-chen①②Hong Wen①②①(Science and Technology on Microwave Imaging Laboratory, Beijing 100190, China)
②(Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)
③(University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Sparse microwave imaging is a novel theory that systematically introduces sparse signal processing to microwave imaging. Compared with conventional synthetic aperture radar imaging, sparse microwave imaging exhibits the advantage of better imagery quality and lower system complexity. Non-ambiguity reconstruction for sparse scene can be achieved on under-sampling raw data by means of sparse microwave imaging, which leads to total data amount reduction. The imagery quality of sparse microwave imaging depends on the recovery property of measurement matrix, which is affected by the sparse sampling strategy. This paper focuses on the problem of design the azimuth sparse sampling scheme. The connection between mutual coherence and recovery property of the measurement matrix is analyzed. A mutual coherence based criterion is then proposed and applied to optimize the existing azimuth sparse sampling scheme. Numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed method and conclusions are discussed.

SAR; Sparse microwave imaging; Azimuth sampling; Mutual coherence criterion

TN957.52

A

1009-5896(2015)03-0580-07

10.11999/JEIT140613

2014-05-12收到，2014-08-29改回

*通信作者：蔣成龍 chenglong.j@gmail.com