對秦九韶算法教學(xué)的幾點思考

王永婷

摘 要：本文就秦九韶算法的教學(xué)中如何既體現(xiàn)新課程、新理念、新課標(biāo)，又注意結(jié)合舊知識，調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力及學(xué)習(xí)興趣提出幾點思考，供交流學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：算法；秦九韶算法；教學(xué)；新課標(biāo)

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，而邏輯思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心，是數(shù)學(xué)的“靈魂”。在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，對《算法初步》加以要求和考查，是提高學(xué)生思維素質(zhì)和能力的又一重要途徑。但是，多數(shù)教師都沒有算法的教學(xué)經(jīng)驗，該內(nèi)容具有很大的挑戰(zhàn)性。

我們學(xué)校使用人教A版教材，《算法初步》一章內(nèi)容的教學(xué)已經(jīng)結(jié)束。還存在兩個突出的問題：一是教師不注重挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，對數(shù)學(xué)邏輯思維在教材中的層次性缺乏深度的思考和認(rèn)識，缺乏教學(xué)的整體規(guī)劃和安排。二是只注重數(shù)學(xué)思想方法結(jié)論的解析和證明，忽視了對數(shù)學(xué)思想方法的抽象、概括或探索推理的心智活動過程。其結(jié)果就是學(xué)生沒有體會到對問題的探究從而形成認(rèn)知的過程，更未形成建立和發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與鑒賞模式的能力。“知其然而不知其所以然”，不能夠舉一反三，欠缺站在巨人的肩頭去研究、分析新的問題的能力。這無疑與數(shù)學(xué)新課標(biāo)的目的是相去甚遠(yuǎn)的。

以下以秦九韶算法的教學(xué)，談?wù)勛约旱膸c思考

從一道已學(xué)過的習(xí)題出發(fā)在求解過程中引概念，并且把算法思想方法滲透在高中數(shù)學(xué)課程及其有關(guān)內(nèi)容中，鼓勵學(xué)生運用算法解決有關(guān)問題。

以下是教材（人教版高中《數(shù)學(xué)》必修3，第39頁“秦九韶算法”中的內(nèi)容

怎樣求多項式當(dāng)x=5時的值呢？

一個自然的做法是把5代入多項式，計算各項的值，然后把它們加起來，這時一共做了=10次乘法運算、5次加法運算。

1 逐漸滲透算法意識，為算法學(xué)習(xí)鋪路

對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，既要呈現(xiàn)知識，又要使學(xué)生體會人類認(rèn)識數(shù)學(xué)經(jīng)歷的一切，因此很多時候教材中只能看到漂亮的結(jié)論和嚴(yán)格的證明。由此產(chǎn)生的認(rèn)識困難問題必須通過教師的教學(xué)加以解決。這就需要教師首先了解清楚所教的內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過程，在教學(xué)過程中，有意識有目的的設(shè)置一些情境，從具體事例和事實中幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、抽象、概括；并能加強(qiáng)自身的綜合素養(yǎng)，這就需要教師采用數(shù)學(xué)探究性課堂教學(xué)。

思考1 對計算機(jī)來說，做一次乘法運算所用的時間比做一次加法運算要長的多，所以能否找到其他的做法，減少乘法的運算次數(shù)，從而提高運算效率？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析、推理：另外一種做法是先計算x2的值，然后依次計算，，的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果。這時，我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算。

思考2 我們知道，這是只對求多項式當(dāng)x=5時的值而言的，那么再舉一例如下：求多項式當(dāng)x=2時的值？

教師引導(dǎo)學(xué)生解答：利用思考1總結(jié)出來的方法，每次計算利用上一次結(jié)果。所以解決辦法如下：

將原式變形如下

將x=2代入上式，從內(nèi)往外依次計算

用具體實例練習(xí)，讓學(xué)生在實例中體會上述運算方法。

教師小結(jié)：上述方法為秦九韶算法。直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進(jìn)的算法，同時介紹秦九韶——秦九韶（約1202--1261），中國南宋數(shù)學(xué)家，字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的《數(shù)書九章》?！稊?shù)書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數(shù)學(xué)成就----“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負(fù)開方術(shù)”（高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

2 注重將“算法”提升到“程序框圖”的層面

數(shù)學(xué)“算法”與“程序框圖”之間，并不是毫無關(guān)聯(lián)的。在數(shù)學(xué)中，我們習(xí)慣上把按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟稱為算法。而把一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形稱為程序框圖。程序框圖揭示的是算法所描述的每一步驟，為算法的描述起到抽象概括的作用。因此，要注重將“算法”提升到“程序框圖”的層面。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)“意識”，這對拓展學(xué)生的思維形成“程序框圖”是十分重要的。

思考1 觀察上述秦九韶算法中的n個一次式。在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟是什么，應(yīng)該用什么結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：觀察秦九韶算法的數(shù)學(xué)模型，計算時要用到的值。若令可以得到下面的遞推公式：

（v=1、2、3……n）

這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，可以用算法邏輯結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。

由秦九韶的概念得出算法步驟如下：

第一步：輸入多項式次數(shù)n，最高次項的系數(shù)和x的值。

第二步：將v的值初始化為，將i的值初始化為n-1。

第三步：輸入i次項的系數(shù)。

第四步：

第五步：判斷i是否大于或等于0，若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v。

3 注重“程序框圖”寫出“程序”并進(jìn)行遷移、運用

把算法轉(zhuǎn)化為計算機(jī)可執(zhí)行程序，應(yīng)用計算機(jī)解決相應(yīng)的問題， 從而讓學(xué)生體會到雖然有時算法過程很復(fù)雜或計算很繁雜，但在計算機(jī)上運行，很快就可以獲得解決問題的結(jié)果，并且一種算法可以解決一類的問題。如果說對秦九韶算法的學(xué)習(xí)是“認(rèn)識”，那么，讓學(xué)生對秦九韶算法的認(rèn)識過程及運用則是“實踐”，實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識。這是認(rèn)識發(fā)展的必然規(guī)律。因此，教師要精心設(shè)計訓(xùn)練的平臺。將秦九韶算法的思想與學(xué)生原有知識建立起聯(lián)系，讓學(xué)生感受到中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。通過對秦九韶算法的廣泛應(yīng)用、豐富其聯(lián)想的空間，懂得“來龍去脈”。教育心理學(xué)表明，學(xué)習(xí)的疑難太多，會影響到學(xué)生的信心，對于一些新的知識，其與學(xué)生已有的知識沒有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，必須提前給予解釋，對于如何表述要給予示范。如程序框圖中使學(xué)生的思維更規(guī)范、更科學(xué)。對秦九韶算法的認(rèn)識、理解，不僅來源于會寫算法，會將算法轉(zhuǎn)化成程序框圖，更來源于用程序框圖寫出計算機(jī)識別的程序。由以上程序框圖對應(yīng)寫出程序：

第一步 INPUT n

INPUT

INPUT x

另一種寫法：INPUT “n，，x”；n，，x

評析： 如果不注意輸入語句的格式，則寫出的程序，計算機(jī)就不會執(zhí)行或輸出錯誤的信息，這是很多學(xué)生常犯的錯誤。

第二步 LET

LET

評析：學(xué)生在寫賦值語句時常常一句給出多個變量賦值，這也是錯誤的。

第三步 WHILE

INPUT “”；

WEND

評析：根據(jù)程序框圖及前面提到的循環(huán)結(jié)構(gòu)，遞推公式。引導(dǎo)學(xué)生選對循環(huán)語句寫出程序，問題就會迎刃而解。

以上可見，即使是教材中某一段不起眼的內(nèi)容，通過對解決具體問題過程與步驟的分析。也能體會到算法的思想，理解算法的含義；通過模仿、操作、探索、經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達(dá)解決問題的過程。在具體問題的解決過程中，理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，進(jìn)一步體會算法的基本思想。

把算法轉(zhuǎn)化為計算機(jī)可執(zhí)行程序，應(yīng)用計算機(jī)解決相應(yīng)的問題， 從而讓學(xué)生體會到雖然有時算法過程很復(fù)雜或計算很繁雜，但在計算機(jī)上運行，很快就可以獲得解決問題的結(jié)果，并且一種算法可以解決一類的問題。讓人從一些機(jī)械重復(fù)、繁雜的工作中解放出來。 同時通過電腦操作，讓學(xué)生自我去探索，及時驗證自己的算法是否可行，及時獲得成就感，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，也符合新課程的理念。我們擁有豐富的資源，只要認(rèn)真去探索，研究，實踐，我們是可以大有作為的，這也是數(shù)學(xué)教師的重要使命。

參考文獻(xiàn)

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀》 江蘇教育出版社 2004年4月第1版

[2]《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修3》 人民教育出版社 2004年7月

[3]《600分專題》 中國青年出版社 2011年7月