用“幾何畫板”探究一次函數的圖像的性質

葉軍

《幾何畫板》（The Geometer's Sketchpad）是適用于數學、物理教與學的動態幾何軟件。它操作方便，容易上手，每一步作圖都體現了我們的數學思考，能夠體現我們的設計和想法，是學習數學的良好工具。

【活動目標】學習使用《幾何畫板》軟件作出一次函數 的圖像；借助于動態圖形，理解k和b的幾何意義。

【活動準備】一間計算機教室，電腦需預裝《幾何畫板》5.0或更高版本；在此前的課堂學習中，同學已經學會軟件的一些基本操作；熟悉“一次函數”的圖像與性質，會熟練地手工作圖。

【活動過程】

1.小組分工：為提高學習效率，共同提高，每4～5名同學分成一組，并按小組就近在計算機教室入座，以便合作討論，及時總結。

2.教師課前設計好本節課的教學案，本節課需要解決以下幾個問題：

（1）學會用《幾何畫板》畫出某個具體的一次函數圖像，例如 ；

（2）學會用《幾何畫板》畫出含參數k、b的一次函數圖像，并能改變k、b的值，理解它們的幾何意義，并藉此理解一次函數圖像的性質；

（3）借助畫板工具，理解一次函數、二元一次方程組和一元一次不等式之間的關系，學會利用圖形求解方程組的解，利用圖形的幾何意義求解一元一次不等式。

同學們需要帶著教學案進入機房，并熟知本節課的學習任務。

3.問題和探索

問題1：在平面直角坐標系中畫出函數 的圖像，并和手工作圖的圖像進行比較，溫習一次函數圖像的性質。

基本操作：（1）打開《幾何畫板》軟件，在“編輯”菜單中點擊“參數選項”，選中“文本”選項卡，并勾選所有復選框。

這樣做的目的是，讓作圖過程中自動加上點的字母，并讓函數關系式自動呈現為 的形式，免得后面重復這一操作。

（2）打開“繪圖”菜單，選中“繪制新函數”，并在打開的“新建函數”選項卡中，按照運算順序輸入“2*x-1”，在輸入的過程中，注意觀察界面上的函數式也同步變化，輸入完成后，確定。會看到頁面上出現一條傾斜向上的直線，這就是 的圖像。

作圖技巧：我們把坐標原點用O表示，拖動圖中的點A可以改變坐標軸的單位長度，在默認情況下，我們選用的坐標系是“方形網格”，如果需要，可以在“繪圖”菜單中改成“矩形網格”.例如，我們要畫出函數 ，我們可以在矩形網格中，先輸入函數式，然后拖動坐標軸上的A和B點，讓圖像呈現在屏幕的合適位置。

問題2：用《幾何畫板》畫出含參數k、b的一次函數圖像，改變的k、b值，觀察函數的圖像隨著k、b的變化如何改變。

基本操作：在x軸上任作兩點A、B，過這兩點作x軸的垂線，在垂線上各選一點C、D，度量出C、D的縱坐標的數值，改變數值的標簽分別為k、b。打開“新建函數”選項卡，輸入 （其中k和b分別用鼠標點擊剛才的標簽），確定。出現如下的圖形。

問題2的操作比較復雜，如果有同學發生困難，教師可以利用教師機給同學先展示，再由學生自己操作。個別問題，教師單獨解決。

作圖技巧：作好圖形后，拖動C，可以改變k的值，拖動D，可以改變b的值，由此觀察直線的位置、傾斜程度、經過的象限隨著k和b如何發生變化的。

問題3：在同一坐標系中畫出 和 的圖像。（1）觀察它們有無交點，并嘗試讀出交點的坐標；（2）根據圖像，說出使 的x的取值范圍.

基本操作：如圖所示，按照要求作出兩個函數圖像，為了區分，可以用紅色、藍色分別標記。可以發現它們有一個交點，直接用鼠標點中交點P。可以直接觀察出P（3，5）.對于不能直接看出交點坐標，或坐標不是整數的情況，可以選中點P，利用“度量”菜單中的“坐標”工具，直接度量出交點的橫坐標和縱坐標。

活動啟示：本題其實給出了方程組 的圖像解法。進一步地，根據圖像的位置關系，可以知道，當x>3時， ；反之，當x<3時， .

作圖技巧：可以在y1上任選一點M，并過M作y軸的平行線，看這條直線與y2的交點N與M的位置關系，由此感受y1和y2的大小關系是如何變化的。

【活動總結】

每個小組互相交流一下，解決以上3個問題的過程中有沒有新的想法，還有沒有疑問和困惑？

【活動評價】

本節課的學習，既要動手，也要動腦。在計算機房學習數學，在“玩”的同時，不要忘了學習目標的完成。請每個同學對照教學案的目標要求，反思本節課有沒有順利完成任務。對于學有創建的同學，教師可以適當創造條件，讓其展示。對于合作較好的小組，老師要予以肯定或展示。