“函數(shù)的微分”教改設(shè)計(jì)

董艷

摘 要： 微分是學(xué)生以前從未接觸過(guò)的概念，比較抽象，特別是課本上的引例，經(jīng)過(guò)多次講解，發(fā)現(xiàn)通過(guò)此引例引入，學(xué)生不易理解，因此如何引入微分的概念是上好本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).本文主要是針對(duì)此特別設(shè)計(jì)的.以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引入本節(jié)，讓學(xué)生通過(guò)做題體會(huì)其中遇到的困難，進(jìn)而分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，帶著問(wèn)題引入微分的概念，其中主要利用數(shù)形結(jié)合的方法講解概念，過(guò)渡自然，最終得出求微分就是求導(dǎo)數(shù)的.

關(guān)鍵詞： 微分 概念 導(dǎo)數(shù) 問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 數(shù)形結(jié)合

一、課前準(zhǔn)備

1.復(fù)習(xí)引入

設(shè)計(jì)目的：求微分就是求導(dǎo)數(shù)，因此新課前首先對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行復(fù)習(xí)；微分是為了解決函數(shù)值的增量而引入的，因而復(fù)習(xí)的第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是增量的概念.

2.課堂任務(wù)

設(shè)計(jì)思想：讓學(xué)生通過(guò)做一道有關(guān)增量的題目（見(jiàn)下表），使學(xué)生體會(huì)到計(jì)算中的困難，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合法分析所遇到的問(wèn)題從而引入微分概念.

課堂任務(wù)：按要求完成下列表格：

表1 函數(shù)y=x■-x在點(diǎn)2處當(dāng)取不同自變量增量時(shí)函數(shù)值增量的計(jì)算

3.問(wèn)題提出

在上面任務(wù)完成的過(guò)程中，遇到的問(wèn)題是：函數(shù)y=x■-x在點(diǎn)2附近處的函數(shù)值不容易計(jì)算，導(dǎo)致在這點(diǎn)附近函數(shù)值的增量也不容易計(jì)算.

4.分析問(wèn)題

作出y=x■-x的圖像，為了求出函數(shù)在點(diǎn)2附近處的函數(shù)值，我們過(guò)這點(diǎn)作曲線的切線，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？

圖1 函數(shù)的圖像及其在點(diǎn)2處的切線

由圖可知在點(diǎn)2附近，曲線和切線十分接近，我們可以用切線上的函數(shù)值近似地代替曲線上的函數(shù)值，寫(xiě)出切線的方程為：f（x）-6=11（x-2），觀察這個(gè)等式的左右兩邊可以進(jìn)一步寫(xiě)成：Δy=11Δx，那么就用此式計(jì)算下剛才的那個(gè)問(wèn)題，可得下表：

表2 切線上的函數(shù)值增量與曲線上函數(shù)值增量作比較

5.得出結(jié)論

當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy≈dy，今天我們講的函數(shù)的微分其實(shí)就是切線上的函數(shù)值的增量，它是用來(lái)近似代替曲線上的函數(shù)值的增量的，可是再怎么近似，也會(huì)有誤差，誤差有多大呢，微分的概念就可以解決這個(gè)問(wèn)題.

二、新課講解

1.先請(qǐng)學(xué)生用心看一遍定義

2.通過(guò)圖形解釋定義

圖2 函數(shù)的微分概念的圖形解釋

3.解決引入中的問(wèn)題

從圖3中很容易得出：Δy-dy=0（Δx），0（Δx）是什么意思呢？

4.對(duì)0（Δx）的解釋

5.公式中“A”的推導(dǎo)[1]

6.導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系（可微的條件）

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的微分概念，微分其實(shí)就是曲線函數(shù)在一點(diǎn)處，當(dāng)自變量變化很小時(shí)，相應(yīng)的切線上函數(shù)值的改變量，它是用來(lái)近似代替曲線上的函數(shù)值的改變量的，從而體現(xiàn)了以直代曲的思想.

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基金項(xiàng)目：陜西省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會(huì)2015年度教育科研規(guī)劃立項(xiàng)課題No.SZJYB2015040）