關于《應用隨機過程》教學的探討

程慧慧

摘 要： 隨機過程是概率論的延伸，研究不確定現象的動態變化規律。針對其抽象性強，與實際聯系比較緊密，學習難度大等特點，通過以下教學思想與教學方法探討如何講授好應用隨機過程課程：將概率意義與直觀背景相結合，理解各種隨機過程；建立不同過程之間的對比關系，指明它們的本質區別和聯系，使學生能夠融會貫通，加深記憶；加強隨機過程的應用舉例，提高學生的興趣和解決實際問題的能力。

關鍵詞： 隨機過程 直觀背景 類比教學 應用舉例

應用隨機過程是高等院校理工科高年級學生和研究生的專業基礎課。作為概率論的延伸，隨機過程不僅是數學、概率統計專業所必需的，而且是物理及工程技術領域的重要應用工具，其在通信、生物、社會管理、經濟領域等方面都有廣泛應用。作為隨機數學的一個重要基礎課程，隨機過程已經是現代科技工作者必須掌握的一個工具。隨機過程是研究隨機現象變化過程的學科，有重要的理論價值和實際應用背景。但由于隨機過程偏向于概率等隨機數學的特征，理論知識相對抽象復雜，學生由于適應了確定性現象的思維習慣，對概率論這一類研究不確定現象的理論體系會顯得難以接受，對作為概率論拓展的隨機過程理論就更不容易掌握。這對學生的學習和老師的教學方法提出了一定挑戰。因此，在隨機過程教學中，首先，注重將概率原理與直觀背景相結合，理解各種隨機過程，使授課內容通俗易懂，容易接受。其次，將各個教學知識點有機聯系起來，通過類比的方法，了解它們之間的本質區別和聯系，這樣可以指導學生在學習不同過程的性質時，體會它們的相同點和不同點，加深對知識點的記憶。另外，要加強對隨機過程應用性的介紹，結合學生的專業特點，可以讓學生利用隨機過程的知識進行數學建模，解決實際問題，提高學生的學習興趣和應用能力。

一、概率原理與直觀背景相結合，理解各種隨機過程，使授課內容通俗易懂，容易接受。

隨機過程與現實生活聯系非常密切，許多知識都有實際背景，因此在講解一個知識時通常可以將其與具體的例子結合起來，使學生更容易接受。例如對Poisson過程，事實上，現實世界的許多偶然現象可用泊松分布描述，泊松過程是隨機建模的重要基石，也是學習隨機過程理論的重要直觀背景。在講授時，我們先列舉一些著名的例子，比如：電話總機所接到的呼喚次數，交通流中的事故數，某地區地震發生的次數，細胞中染色體的交換，計數器上的粒子流，炮彈的彈著點，等等。

緊接著，提出問題：為什么實際中有這么多的現象可以用泊松過程反映呢？讓學生帶著問題聽課，增強教學吸引力。然后講解其概率原理：其根據是稀有事件原理。我們在概率論的學習中已經知道，貝努里試驗中，每次試驗成功的概率很小而試驗的次數很多時，二項分布會逼近泊松分布。這一想法很自然地推廣到隨機過程，比如上面提到的事故發生的例子，在很短的時間內發生事故的概率是很小的，但假如考慮很多個這樣很短的時間的連接，事故的發生將會有一個大致穩定的速率，這類似于貝努里試驗和二項分布逼近泊松分布時的假定，這就是泊松過程定義所描述的直觀意義。再比如講授維納過程時，可以先介紹維納過程的數學模型布朗運動，英國植物學家布朗在顯微鏡下，觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子，發現它們不斷地進行著雜亂無章的運動，這種現象后來稱為布朗運動，以W（t）表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標（同樣也可以討論縱坐標）且設W（0）=0，根據愛因斯坦1905年提出的理論，微粒的這種運動是由于受到大量隨機的，相互獨立的分子碰撞的結果，于是，粒子在時段（s，t]（與相繼兩次碰撞的時間間隔相比是很大的量）上的位移可看做是許多微小位移的代數和。顯然，依中心極限定理，假定位移W（t）-W（s）為正態分布是合理的。其次，由于粒子的運動完全是由液體分子的碰撞而引起的。這樣，在不相互重疊的時間間隔內，碰撞的次數，大小和方向可假定是相互獨立的，這就是說位移W（t）具有獨立的增量。另外，液面處于平衡狀態，這時粒子在一時段上位移的概率分布可以認為只依賴于這時段的長度，而與觀察的起始時刻無關，即W（t）具有平穩增量，這就是維納過程的直觀意義。

二、通過類比的方法，建立不同過程之間的聯系，使學生融會貫通，加深記憶。

隨機過程中，不同過程之間有很多相似點和不同點，在講解的時候，可以進行類比，加深學生的記憶。以泊松過程和維納過程為例，通過比較這兩種過程定義中的條件理解其各自具有的性質。

泊松過程：計數過程{N（t），t≥0}稱為強度為λ的泊松過程，如果滿足條件：

（1）在不相重疊的區間上的增量具有獨立性；

（2）N（0）=0；

（3）對每個t，N（t）服從Poisson分布P（λt）。

維納過程：稱隨機過程{W（t），t≥0}為維納過程，如果滿足條件：

（1）在不相重疊的區間上的增量具有獨立性；

（2）W（0）=0；

（3）對每個t，W（t）服從正態分布N（0，σ2t）。

通過比較可以看出，這兩種過程的相同之處在于都是平穩的獨立增量過程，且都要求零初值；不同的是維納過程要求增量服從正態分布，而泊松過程要求增量泊松分布。依據泊松分布和正態分布的性質特征，可以知道泊松過程的軌道是階梯函數而維納過程的軌道應該是連續的，另外前者的均值為λ，而后者的均值為0，講授式可以繪制出二者的一條軌道圖像，分析以上特征。使授課內容更直觀，容易被學生接受，加深記憶。由于泊松過程較為簡單直觀，通常被放在課程的開始階段進行教學，而維納過程則通常在課程后期才進行講授。這樣，學生在學習時常常不能體會到這兩類過程之間的聯系。我們通過以上類比，將這兩類隨機過程及其相應的教學重點緊密聯系，一方面給學生揭示了這些隨機過程的本質和相互關系，另一方面為學生加深對這些教學內容和知識點的理解，融會貫通所學知識，提高隨機課程這門應用數學的實踐能力提供了新的著力點。

三、增加對幾類過程在實際中的應用舉例，體現所學知識的應用價值，提高學生的學習興趣。

隨機過程有很強的應用背景，其中泊松過程的一個典型應用就是在排隊論中的應用。舉例：設某銀行從早上8：00開始有無窮多的人排隊等候服務，設只有一名服務員，且每人接受服務的時間是獨立的并服從均值為20分鐘的指數分布，則到中午12：00為止平均有多少人接受完服務已經離開？恰有9人離開的概率是多少？

解：由所設條件可知，到t時刻為止，離去的人數N（t）是強度λ=3的泊松過程（這里以小時為單位）。設8：00為零時刻，則其均值為3即到12：00為止，離去的人平均是12名。恰有9人離開的概率為P{N（t）=9}，由泊松過程定義第三條計算即可。

事實上隨機過程在很多領域都有應用，如天氣預報、統計物理、放射性問題、原子反應、天體物理、化學反應、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊論、信息論、安全科學、人口理論、可靠性、經濟數學及自動控制、無線電技術、計算機科學等很多領域都要以隨機過程為基礎來構建數學模型。因而，在講解時，應充分體現隨機過程的實踐性和應用性，結合本學科的前沿技術與發展動向，拓寬學生視野，給學生布置一些小論文，讓學生利用隨機過程的知識建立數學模型，解決實際問題，提高學生的學習興趣。

參考文獻：

[1]呂方，王振輝.關于《應用隨機過程》教學的思考[J].中國科教創新導刊，2009（30）：50-52.

[2]狀態變化時間間隔在隨機過程教學中的意義[J].中國科技信息，2011（18）：141-142.

[3]張波，商豪.應用隨機過程[M].中國人民大學出版社.