例談解題后的反思

王麗霞

一、背景

在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，很多同學(xué)做題成百上千，學(xué)習(xí)態(tài)度也比較端正，但究其效果，往往不是很理想，成績(jī)也沒因此提高多少.究其原因，主要因?yàn)樗麄兌疾捎妙}海戰(zhàn)術(shù)，一味地做題目，只重視最后算出的結(jié)果，而不去總結(jié)和探究解題規(guī)律，忽視了解題后的第二次思考，沒有使自己辛辛苦苦所獲得的思維成果得到鞏固、升華和提高.

二、具體過程

筆者認(rèn)為解題之后對(duì)其進(jìn)行反思既對(duì)學(xué)生的解題能力提高有所幫助，又讓學(xué)生節(jié)約了大量做同一種類型題目的時(shí)間.

（一）對(duì)解題過程反思，總結(jié)解題規(guī)律

題目求解正確，有些同學(xué)便認(rèn)為解題結(jié)束，其實(shí)不然，數(shù)學(xué)問題解決的主要目的在于：通過解題更全面、深入地理解數(shù)學(xué)概念、定理及性質(zhì)，歸納總結(jié)出分析數(shù)學(xué)問題的思維方法.因此，在解題正確之后，同學(xué)們應(yīng)該思考下面一系列問題：①解題過程是否錯(cuò)誤；②解題過程有無條理；③解題過程能否進(jìn)一步完善.

通過反思解題過程，我們可以總結(jié)出解決一類問題的解題方法，從而由點(diǎn)到面，大大提高解題速度和對(duì)題目的遷移能力.

例1：已知二次函數(shù)f（x）=ax+（2a-1）x+1在區(qū)間[-，2]上的最大值為3，求a的值.

解：（1）當(dāng)a>0時(shí)，由于二次函數(shù)圖像開口向上，則最大值只能在端點(diǎn)處取得.

①若f（-）=3，則得a=-，與a>0矛盾，舍去；

②若f（2）=3，則得a=，再檢驗(yàn)此時(shí)的對(duì)稱軸發(fā)現(xiàn)剛好在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，符合題意.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，-=-1+<-1<2，再分兩小類.

①若-<-即-1

②若-≤-≤2即a≤-1，則f（x）=f（-）=3，解得a=-與a≤-1矛盾，舍去.

綜上所述，a=或a=-.

通過反思上述解題過程，我們可以看到如下求二次函數(shù)在一定區(qū)間上求最值（值域）的解題方法：

（1）決定二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題的主要條件是二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸及所指定的區(qū)間；

（2）其中二次函數(shù)圖像的開口方向由二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定；

（3）所給定區(qū)間與對(duì)稱軸的相對(duì)位置關(guān)系的討論是解決這類問題的關(guān)鍵.

先在數(shù)軸上畫出指定區(qū)間，整個(gè)數(shù)軸被這個(gè)區(qū)間分成了幾部分，那么對(duì)稱軸就有幾個(gè)可能.

（二）對(duì)解題結(jié)果反思，對(duì)題目追本溯源

數(shù)學(xué)的題目無數(shù)，但數(shù)學(xué)題目的類型卻是有限的，如果對(duì)題目追本溯源，對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思，找出題目所對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，把錯(cuò)誤歸結(jié)到知識(shí)點(diǎn)，就能夠?qū)@種類型的題目真正掌握.

例2：（1）必修一P55第十一題

對(duì)于任意的x，x∈R，若函數(shù)f（x）=2，試比較[f（x）+f（x）]/2與f（）的大小關(guān)系.

（2）必修一P71第十二題

對(duì)于任意的x，x∈（0，+∞），若函數(shù)f（x）=lgx，試比較[f（x）+f（x）]/2與f（）的大小關(guān)系.

這里給出例2（1）的解法：

解：[f（x）+f（x）]/2=（2+2）/2

∵2>0，2>0，∴2+2≥2=2=2，

∴（2+2）/2≥即[f（x）+f（x）]/2≥f（）.

兩道題目雖然在不同的章節(jié)出現(xiàn)，但題目本質(zhì)都是靈活應(yīng)用基本不等式.分別在指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中融入基本不等式，如果對(duì)題目的結(jié)果加以比較，真正掌握基本不等式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，那么此種類型的題目稍做改變，必能夠舉一反三，真正達(dá)到做題的效果.可見對(duì)題目反思何等重要.

（三）對(duì)解題方法反思，實(shí)現(xiàn)一題多解

對(duì)于一道題目，假如我們分析它們的不同角度，可能會(huì)得到不同的思考，從而想出不同的解題方法.因此，在解完一道題目之后，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真反思此題還有沒有其他解決方法.通過探求新的方法，可以向不同的層次、不同的方向延伸學(xué)生的思維觸角，可以由此找到最合適的解題方法，也拓寬了思維的途徑.

例3：已知a、b、m為正實(shí)數(shù)，且a.

證明：要證明>成立，只要證明（a+m）b>（b+m）a成立，即ab+mb>ab+am，即mb>am.

因?yàn)閍0，所以mb>am顯然成立.

故原不等式得證.

我們回過頭來看這道題的解題過程，發(fā)現(xiàn)還可以用下面這些方法解決：①綜合法，②放縮法，③作差法，④作商法，⑤反證法，⑥函數(shù)單調(diào)性（設(shè)函數(shù)f（x）==1+，利用f（x）在[-b，+∞）上是增函數(shù)的定義來證明），⑦換元法

對(duì)于上述提供的方法，這里不一一加以證明.

二、反思

解題之后的多重反思，不僅有利于深入、全面地理解和掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律，而且有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，還能使學(xué)生在解題訓(xùn)練中以一當(dāng)十，擺脫“題海”，使復(fù)習(xí)效率倍增.