高考數學新定義型試題賞析

張漢宇

2015年全國高考數學新定義型試題異彩紛呈，主要體現在新定義的概念，引入新的符號和定義新的運算.這些題在全面考查學生的數學知識、方法及數學思想的基礎上，還著力考查學生的創新研究能力與學習潛力等綜合素質.本文對高考新定義型試題的三種題型進行解析，揭秘其解題策略.

一、定義新的概念

例1.（2015湖北，理6）已知符號函數sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函數，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（ ? ? ? ?）

A.sgn[g（x）]=sgnx ? ? ? ? ? ? B.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] ? ?D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）-f（2x）=-x，則sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1與0比較，排除C，D，故選B.

賞析：此題選自高等數學中“符號函數”編擬適合高中生的試題，體現了高等數學與中學數學的和諧美.以高等數學知識為背景，定義一個新函數，要求學生深刻理解新函數的內涵及本質，并能合理遷移運用已學的知識加以解決.此類問題較好地考查了學生的知識遷移能力、轉化能力，開發了學生探究性學習的潛能，是備受高考命題者青睞的題型，例如2009年湖南理科第8題，2008年湖南文科第15題.

二、引入新的符號

例2.（2015山東，文14）定義運算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.當x>0，y>0時，x？茚y+（2y）？茚x的最小值為？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由已知定義可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值為，當且僅當x=y時等號成立.

賞析：在高考試題中引入新的符號，通過定義一種新的運算，考查學生的自學能力和探究能力，而這類題目給中學教師一種啟發，就是在實際教學中要注意培養學生的獨立思考能力及自主探索的能力.

三、定義新的運算

例3.（2015福建卷，理15）一個二元碼是由和組成的數字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）稱為第k位元碼.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生元碼錯誤（即元碼由0變為1，或由1變為0）.