高等數學案例式教學探究

姚偉

摘 ? ?要： 本文結合高等數學在經濟管理學科的特殊應用背景，提出了高等數學的案例式教學法。主要目的在于提高學生對高等數學的學習興趣，培養學生解決實際問題的能力，讓高等數學能更好地為他們的專業課程服務，并介紹數學軟件輔助計算，提高學生的計算能力。

關鍵詞： 高等數學 ? ?案例式教學 ? ?數學軟件

一、引言

高等數學是高等學校的基礎學科，高等數學的學習不僅為后繼數學和專業課程的學習奠定必要的理論基礎，而且培養了學生的抽象思維、邏輯推理能力，并且在培養學生綜合利用所學知識分析問題、解決問題的能力，自主學習能力，以及創新意識和創新能力上都具有非常重要的作用。但是一方面由于高等數學學科本身理論性較強，要求學生有嚴密的邏輯推理能力和很強的運算能力，一直以來給學生一種抽象、深奧的感覺，使得學生害怕學習高等數學。另一方面，學生在學習高等數學的過程中，缺乏運用高等數學解決實際問題的環境，這使他們認為高等數學是脫離實際的，學不好高等數學對他們以后的工作、生活沒有任何影響。從而讓很多學生失去了對高等數學的學習興趣。

為了提高學生學習高等數學的學習興趣，很多專家學者做了大量研究，并且提出了很多教學方式方法。案例式教學法就是其中之一。案例式教學是指在課堂教學中，以實際案例為媒介，將理論教學與實際相結合，培養學生運用理論知識解決實際問題的能力，從而引發學生學習興趣，并且滿足學生身心發展的需求。案例式教學起源于美國哈佛大學情景案例教學課，在經濟教學中取得了巨大的成功。在高等數學教學中運用案例式教學法，通過解決實際問題，將抽象的數學理論轉化為具體的實際問題，讓學生不再覺得數學深奧難懂，克服害怕數學的心理障礙，并且在解決實際問題的過程中，讓學生領會到數學理論知識的作用，提高學生的學習興趣，并培養學生解決實際問題的能力。這樣，不僅提高了學生的學習興趣，而且提高了教師的授課效率。

二、案例式教學理論

案例式教學法應以學生為中心的教學理念為指導。無論是在課前準備教學，課中課堂教學，還是課后鞏固練習，都應以滿足學生的學習需求和培養學生的思考問題、解決問題的能力為目標。

課前對案例的選取，首先應充分了解學生的學習狀況，選取的案例應符合學生學習狀況，能被學生接受和認同。其次，應熟悉教材內容，案例的選取應和本節課學習的內容有較好的關聯，能體現本次課的教學目標，并且在解決案例過程中能用到本節課所學習的理論知識。再次，案例的選取應和學生所學專業知識相關聯，增強學生的認同感。同時也應提醒學生預習課本，了解相關的概念。

上課時，第一步：引導學生理解案例，并提出具有針對性、引導性的問題，引發學生的思考，激發學生的學習興趣。第二步：給學生講解案例中涉及的數學概念及相關理論知識，引導學生將實際問題轉換為數學問題。第三步：讓學生以小組為單位，互相討論，在所學到的理論知識的基礎上提出問題的解決辦法;并讓小組之間相互評價解決辦法的優劣。在該過程中，教師應恰當引導學生討論問題的方向，鼓勵學生提出解決問題的辦法，并嘗試解決問題。第四步：在學生相互評價之后，教師應對學生所提出的解題思路和方法做出點評，進行歸納、總結，并給出合理的解決辦法。第五步：對案例進行推廣，列舉類似案例，分析案例解決思路，類比找出共同點，給學生歸納一般化解決類似案例的思路和方法。

課后，給學生提出類似的案例問題，鞏固課堂上所學到的理論知識和思想方法。另外，為了提高學生動手能力，引起學生課下研究問題的興趣，可以讓學生借助數學軟件Matlab、Mathmatica等輔助計算解決問題。

這樣，不僅讓學生學會了數學理論知識，而且能靈活用數學知識解決實際問題，從而將理論和實際結合起來，完善課堂教學的實踐內容，為學生以后走向工作崗位提供了鍛煉機會。

三、具體案例實施

極值和最值，選用案例：一日，走在漓江邊上，看著江水滾滾而過，突然想到一個問題：江水的流速是岸邊的快還是江中間的快呢？

組織學生測量，得到一組數據：附件1。

建立模型：通過數據擬合得：v=-0.0091x2+1.3603x-0.1839，其中x是到岸邊的距離，是水流速度。

問題的轉化：要說明水流速度最快的位置，這個問題可以轉化為求一元函數的最值問題，進而轉化為求一元函數的極值。

引入新知識的講解：一元函數的極值問題：極值點，駐點，極值點與駐點的關系，求駐點的理論，判斷駐點是否為極值點的方法。

給學生進行分組，讓他們組內互相討論，提出解決問題的思路和方法，并小組之間相互評價解決問題的思路和方法，直觀感受各自思路方法的優劣。

做點評和歸納總結：對學生提出的解決辦法做出評價，綜合整理，給出該問題的解決辦法。通過函數的導數等于零求出駐點x=75.13151，并判定在此處有極大值v=50.91173。可以得出結論：在河中央，水流速度最快。建議學生利用數學軟件輔助計算，解決問題，同時提供數學軟件的計算方法（附件2）作為參考。

案例模型的推廣：經濟學中銷售量多少時利潤最高，工程中用料最省等實際問題都可以轉化為數學中的極值問題進行解決。

課后留給學生思考問題：在經濟學中，利潤和銷量及銷售價格有關系，并且銷量與銷售價格也是有關聯，假設一件物品，擁有人數最少為零，擁有人數最多為人人擁有，試探究當擁有量為多少時，利潤最高？

這樣解決實際生活中的問題，不僅提高了學生的學習興趣，而且培養了他們實際解決問題的能力。

四、結語

案例式教學時在傳統的高等數學教學過程中加入了實際問題的考慮。它不僅能更好地激發學生的學習興趣，而且能培養學生運用數學解決問題的能力，將數學和他們的專業知識緊密結合在一起，讓學生意識到數學在專業課程中的重要作用。通過對實際問題的處理，學生不僅掌握了數學上的解題、計算，而且學會了如何運用數學知識。最后，介紹Matlab等專業數學軟件是為了讓學生能更方便快捷地解決實際問題，從繁瑣的數學計算中解脫出來，讓數學更好地為其專業服務。

參考文獻：

[1]鄭金洲.案例教學指南[M].上海：華東師范大學出版社，2000.1.

[2]張民杰.案例教學法——理論與實務[M].蘭州：甘肅文化出版社，2005.9.

[3]郭德紅.案例教學：歷史、本質和發展趨勢[J].高等理科教育，2008（1）：22-24.

[4]段復建.微積分[M].北京：科學出版社，2013.7.

特別感謝桂林理工大學博文管理學院教育教學研究與改革項目（編號為JYJG2013001）及項目負責人何寶珠老師的支持！

附件1：河流測速示意圖：

測量數據：

附件2：課堂案例的Matlab計算方法：

clc;clear all

v=xlsread（？謖testdata.xls？謖）;

v=v？謖;

n=length（v）;

d=0：2：2*n-1;

plot（d，v，？謖*？謖）

v1=polyfit（d，v，2）;

v2=polyval（v1，d）;

hold;

plot（d，v2）

syms x;

y=v1（1）*x^2+v1（2）*x+v1（3）;

dy=diff（y，x，1）;

x0=solve（dy）;

x0=double（x0）;

ddy=diff（y，x，2）;

ddy_x0=subs（ddy，x，x0）;

if ddy_x0>0

fprintf（？謖x=%d.水流最慢：%d？謖，x0，subs（y，x，x0））;

elseif ddy_x0<0

fprintf（？謖x=%d.水流最快%d？謖，x0，subs（y，x，x0））;

else fprintf（？謖x=%d.無法判斷極值？謖，x0）;

end