多元函數的極值與最值

徐秋倉

摘 ? ?要： 本文通過幾個例子的討論說明求多元函數的極值與最值比求一元函數極值與最值要復雜得多，某些一元函數求極值與最值的方法及結論對多元函數并不適用，因此在解題時要特別注意.

關鍵詞： 駐點 ? ?極值 ? ?最值

我們在學習多元函數的微積分學時知道，討論多元函數的微分及其應用時以二元函數為主，因二元以上的函數的微分理論可以由二元函數的微分理論直接類推.一元函數到二元函數則不同，有些知識可以由一元函數的理論直接類推得到，但有些知識從一元函數類推到多元函數會產生新的問題.因而如果用一元函數的一些結論解決多元函數的問題，就會出現錯誤認識.本文就關于求多元函數的極值與最值問題容易出現的錯誤認識做了探討.

判斷一元函數極值點的一般方法是：首先找出函數的駐點和一階導數不存在的點.其次由極值存在的第一充分條件來判斷，若某點左右兩側的導數符號相反，該點一定是極值點.最后再具體判斷出是極小值點還是極大值點，從而求出函數的極值.

求可導的一元函數在閉區間[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函數在區間內的一切駐點（即導數為零的點），然后求出這些駐點和區間端點處的函數值，再進行比較，最大者即為函數的最大值，最小者即為函數的最小值.

關于一元函數的極大值與極小值和最大值與最小值，我們有這樣的命題.

命題一……