對均值法與導數法的比較研究

王杏 周仁國 翁小勇

摘 要： 立體幾何中最值問題可通過引入幾何變量，建立變量間的函數關系，再有效利用均值不等式解決問題，也可采用化歸的思想方法，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題。本文擬通過一道立體幾何的最值問題，探討用均值法與導數法解決此類問題的優缺點。通過比較發現，導數法是解決立體幾何最值問題較快捷、有效又易理解的一種方法。

關鍵詞： 定義法 均值不等式 求導法 立體幾何

1.引言

求解最值問題通常在函數中出現，常用方法有均值法、導數法、函數單調性等。對此，許多專家學者已研究得十分成熟，而對立體幾何的研究并不多見。因此，通過對立體幾何的最值問題，通過對比均值法和導數法發現導數法是較快速、簡捷、有效的方法。

2.均值法與導數法的比較研究

案例：現有一矩形鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，將其從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，然后將余下部分折疊為一個無蓋鐵盒，問x為何值時鐵盒的容積最大，并求出最大容積。

分析：對于立體幾何問題求最值，可由已知條件選取恰當變量建立函數關系，將生活中的立體幾何問題轉化為對函數最值的研究，體現等價轉化的數學思想。

（均值法）本例可根據已知條件建立的函數關系式，根據使用均值不等式的條件，引入待定系數a、b，消掉x，從而使問題獲解。

依題意，設鐵盒高為x cm，則底面長為（30-2x）cm，寬為（14-2x）cm。

∴鐵盒容積V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x

顯然：15-x>0，7-x>0，x>0

設V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0），則

根據“均值”不等式積有最大值，則需滿足“一……