例析高中數學建模

陳文海

摘 要： 所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構，數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念.

關鍵詞： 數學建模 思維能力 實際問題

各種數學公式、方程式、定理、理論體系等，都是一些具體的數學模型.舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為二次函數解決.而通過對問題數學化，模型構建，求解檢驗使問題獲得解決的方法被稱為數學模型方法.我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和構建模型的思想方法，使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題.

具體的講，數學模型方法的操作程序大致為：

實際問題→分析抽象→建立模型→數學問題

↑ ↓

檢驗 ← 實際解 ← 釋譯 ← 數學解

由此，我們可以看到，培養學生運用數學建模解決實際問題的能力關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理.這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力.學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識的培養貫穿教學的始終，也就是要不斷引導學生用數學思維的觀點觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型解決實際問題的目的，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣.構建數學建模意識的基本途徑如下.

1.為了培養學生的建模意識，中學數學教師首先要提高自己的建模意識.這不僅意味著在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新.中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活.北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印.”什么是A1型號？在弄清了各種型號的比例關系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學中.這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會.

2.數學建模教學應與現行教材結合起來研究.教師應研究在各個教學章節中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放到這些模型中解決；又如在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題，而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列教學中.要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力.

3.注意與其他相關學科的關系.由于數學是學生學習其他自然科學以至社會科學的工具，而且其他學科與數學的聯系是相當密切的，因此我們在教學中應注意與其他學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其他學科的理解，而且是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑.例如教了正弦型函數后，可引導學生用模型函數y=Asin（wx+Φ）寫出物理中振動圖像或交流圖像的數學表達式.又如當學生在化學中學到CH CL ，金剛石等物理性質時，可用立幾模型驗證它們的鍵角為arccos（-1/3）=109°28′……可見，這樣的模型意識不僅是抽象的數學知識，而且將對他們學習其他學科的知識及將來用數學建模知識探討各種邊緣學科產生深遠的影響.

4.在教學中要結合專題討論與建模法研究.我們可以選擇適當的建模專題，如“代數法建?！?、“圖解法建?！?、“直（曲）線擬合法建?！?，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法.甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”，借以拓寬視野、增長知識、積累經驗.這亦符合波利亞的“主動學習原則”，正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”.

如：在一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應在什么地方會面，走的路程之和才會盡可能地少？

分析：如何表示房子的位置？構造數軸，用數軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于x ，x ，…，x ，不妨設x

再如，對數函數y=log x的單調性是分01兩種情況給出的，所以在解底數中含有字母的不等式；如log >-1就應以底數x>1和01時， > ；當0

從上面例子可以看出，只要我們在教學中仔細地觀察，精心地設計，就可以把一些較抽象的問題，通過現象除去非本質的因素，從中構造出最基本的數學模型，使問題回到已知的數學知識領域，并且能培養學生的創新能力.

總之，要真正培養學生的創新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞不切實際的建模教學。我們的一切教學活動必須以調動學生的主觀能動性，培養學生的創新思維為出發點，引導學生自主活動，自覺地在學習過程中構建數學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足發展.