分部積分的計算方法與技巧

余焌瑞

摘 ? ?要： 本文介紹了分部積分法及其技巧，論述了分部積分的常見類型和重復實施分部積分法時的表格運算法.

關鍵詞： 不定積分 ? ?計算方法 ? ?被積函數

1.引言

當今高科技領域越來越離不開不定積分的計算，比如在航空、航天、船舶等高科技計算過程中，并且有的要應用到相當復雜的不定積分計算.除了在高科技領域應用廣泛外，在其他領域的應用也相當廣泛，如：在金融股市上、在防治生態環境上、在國防上等，已經和各行各業息息相關.既然不定積分的計算方法技巧如此的重要，那么，它的方法和技巧又是怎樣的呢？文中主要通過實例逐一展示以上的計算方法與技巧，并在題后對所用的方法與技巧進行相關評析.

2.分部積分法

2.1分部積分法的常見類型

① x e dx， x sinbxdx， x cosbxdx，其中n是正整數，x 也可是n次多項式p （x）.選取u=x ，v′=e ，sinbx，cosbx.此類型的被積函數，可以見例10的解法.

② x lnxdx， x arcsinxdx， x arctanxdx，其中n是正整數或零，x 是n次多項式p （x）選取u=lnx，arcsinx，arctanx，v′=x .當n=0時，被積函數只是一個因子，如 arcsinxdx.此類型的被積函數，可以見例11的解法.

③ e sin（ax+b）dx， e cos（ax+b）dx，可設u=e 或設u=sin（ax+b），cos（ax+b）.此類型的被積函數，可以見例12的解法.

④如果被積函數含有lnf（x），arcsinf（x），arccosf（x），arctanf（x）等函數的積分，那么一般選取u=lnf（x），arcsinf（x）等.此類型的被積函數，可以見例13的解法.

一般情況下，當被積函數只有一個因子，但不適于用換元積分法時，可以從分部積分法入手.

如：① lnxdx=xlnx- ldx=xlnx-x+C

② arcsinxdx=xarcsinx- xdarcsinx=xarcsinx- ?dx

=xarcsinx- ? dx =xarcsinx+ ?（1-x ） d（1-x ）

=xarcsinx- （1-x ） +C

例1：求不定積分： x e dx

解： x e dx= ?x de

= （x e - e dx）= （x e - xe ）

= （x e -xe + e dx）= x e - xe + e +C

在例1中，3次重復使用了分部積分法常見類型①，這樣的方法對于多項式p （x）的低次冪容易求得結果，但對于高次冪會非常繁瑣.

例2：求不定積分 e cos xdx

解：I= ?e （1+cos2x）dx= e + ?e cos2xdx，而

e cos2xdx= ?cos2xde

= （e cos2x+2 e sin2xdx）

= e cos2x+ ?sin2xde

= e cos2x+ （e sin2x-2 e cos2xdx）

移項得， e cos2xdx= e （cos2x+sin2x）+C

從而I= e （2+cos2x+sin2x）+F

在例2中，計算 e cos2xdx時，2次重復使用分部積分法，直到等式的右邊也出現 e cos2xdx時就停止使用.目的在于移項求出 e cos2xdx的值.本題的計算并不困難，但技巧性很強，在做這類型的題目時要注意觀察.

例3：求不定積分 ?dx

解：令u=arctan ，且 dx=d ，

則I= arctan - ?dx= arctan + +C.

在例3中，u的選取很重要，如果選取u=x ?，那么這道題目就很難算出來，而要想選出適當的u則必須注意觀察被積函數的表達式.通過對這道例題的觀察發現是可以用利用分部積分法的常見類型④的技巧來令u的.因為積分 ? dx的被積函數中的分子是含arctanf（x）的形式.

2.2重復實施分部積分法時的“表格運算法”

假設p（x）是一個多項式，那么在利用分部積分法 udv=uv- vdu，計算形如 p （x）e dx， p （x）sinmxdx，p （x）cosmxdx的不定積分時，選定p （x）為u，則需要多次施行分部積分，這個過程很容易發生計算錯誤.為了能避免錯誤，并提高運算效率，可以采用如下的表格計算格式.

例4：（x -1）e dx

解：列表

（斜線箭頭兩端的兩項相乘，前面加上所示符號，符號是正負相間出現的，然后再加即得結果.）

在上面的列表中，把x -1放在第一行的最左端，然后從左到右，依次寫出逐次求導的結果，直到導數等于零為止.再將e 放在第二行的左端，然后從左到右，依次寫出逐次求原函數的結果，直到導數為零的下方位置為止，最后按照表中所示的符號規則寫出最終答案.

∴ （x -1）e dx

=（x -1）（ e ）- e + e +C

=e （ x - x- ）+C

例5： x ?dx

解：列表

原式

分部積分法的運用范圍比較有限，主要用于解決被積函數是兩類不同類型函數乘積形式的積分，u和v的選擇一般的可總結為“指三冪對反，誰在后面誰為u”，即被積函數是指數函數、三角函數、冪函數、對數函數、反三角函數中的兩類函數乘積形式，誰在后面誰為u，按這種方法選擇u和v是十分有效的.“表格運算法”特別適合用于計算 ? （x）edx，p（x）sinmxdx，p（x）cosmmxdx這類型的不定積分.

利用重復實施分部積分時的“表格運算法”是求導與求原函數同時運用的，這樣不僅使得問題變得簡單有規律可循，而且鍛煉了我們的正逆向思維.在求不定積分的最后結果時，不要忘了加上常數，表明被積函數的原函數有無窮多個.

重復實施分部積分法時的“表格運算法”與常見的類型（1）中的被積函數是相同的.這兩種方法各有優點和缺點.選取“表格運算法”的優點是由于我們對求導的運算有規律可循，但是求原函數是有一定的困難的.求原函數要逆向過程，為了使求出的原函數是正確的，我們可以對原函數進行求導，看是不是等于被積函數.這就使計算量增大，粗心的人很容易算錯，比如例3中的第二行求原函數時，計算就比較繁雜了，因此要應用“表格運算法”時必須細心還要有逆向過程的想法.

選用常見類型（1）的方法有點對于被積函數是多項式p（x）的低次冪與指數函數的乘積容易求得結果，但是對于被積函數是多項式p（x）的高次冪與指數函數的乘積利用這種方法是極為困難的，計算過程也十分繁瑣.因此，不定積分的計算方法比較靈活，技巧很多，在做題中應抓住被積函數的特點，以便選取恰當的計算方法.

3.結語

本文歸納了以分部積分法的常見類型及重復實施分部積分法時的“表格運算法”，用解方程組求不定積分.解決了一些僅僅用教材中的方法不能解決或難于解決的不定積分的計算問題.每一種方法都配有相關的例題進行說明和評點每種方法的不同點.

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