分部積分的計算方法與技巧

余焌瑞

摘 ? ?要： 本文介紹了分部積分法及其技巧，論述了分部積分的常見類型和重復實施分部積分法時的表格運算法.

關鍵詞： 不定積分 ? ?計算方法 ? ?被積函數

1.引言

當今高科技領域越來越離不開不定積分的計算，比如在航空、航天、船舶等高科技計算過程中，并且有的要應用到相當復雜的不定積分計算.除了在高科技領域應用廣泛外，在其他領域的應用也相當廣泛，如：在金融股市上、在防治生態環境上、在國防上等，已經和各行各業息息相關.既然不定積分的計算方法技巧如此的重要，那么，它的方法和技巧又是怎樣的呢？文中主要通過實例逐一展示以上的計算方法與技巧，并在題后對所用的方法與技巧進行相關評析.

2.分部積分法

2.1分部積分法的常見類型

① x e dx， x sinbxdx， x cosbxdx，其中n是正整數，x 也可是n次多項式p （x）.選取u=x ，v′=e ，sinbx，cosbx.此類型的被積函數，可以見例10的解法.

② x lnxdx， x arcsinxdx， x arctanxdx，其中n是正整數或零，x 是n次多項式p （x）選取u=lnx，arcsinx，arctanx，v′=x .當n=0時，被積函數只是一個因子，如 arcsinxdx.此類型的被積函數，可以見例11的解法.

③ e sin（ax+b）dx， e cos（ax+b）dx，可設u=e 或設u=sin（ax+b），cos（ax+b）.此類型的被積函數，可以見例12的解法.

④如果被積函數含有lnf（x），arcsinf（x），arccosf（x），arctanf（x）等函數的積分，那么一般選取u=lnf（x），arcsinf（x）等.此類型的被積函數，可以見例13的解法.

一般情況下，當被積函數只有一個因子，但不適于用換元積分法時，可以從分部積分法入手.

如：① lnxdx=xlnx- ldx=xlnx-x+C

② arcsinxdx=xarcsinx- xdarcsinx=xarcsinx- ?dx

=xarcsinx- ? dx =xarcsinx+ ?（1-x ） d（1-x ）

=xarcsinx- （1-x ） +C

例1：求不定積分： x e dx

解： x e dx= ?x de

= （x e - e dx）= （x e - xe ）

= （x e -xe + e dx）= x e - xe + e +C

在例1中，3次重復使用了分部積分法常見類型①，這樣的方法對于多項式p （x）的低次冪容易求得結果，但對于高次冪會非常繁瑣.

例2：求不定積分 e cos xdx

解：I= ?e （1+cos2x）dx= e + ?e cos2xdx，而

e cos2xdx= ?cos2xde

= （e cos2x+2 e sin2xdx）

= e cos2x+ ?sin2xde

= e cos2x+ （e sin2x-2 e cos2xdx）

移項……