高中排列組合問題的變式研究及生活中的應用

李萍萍

摘 要： 排列組合問題是高中數學教學的一個難點，由于題目靈活多樣，解題方法獨特，有利于訓練學生的邏輯思維能力，解決排列組合問題要將側重點放在兩個計數原理的考查上.

關鍵詞： 排列組合 分類計數原理 分步計數原理

一

著名的數學家波利亞認為：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當地選擇某些有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解題過程中，提高他們的才智與推理能力.”基于這一想法，筆者通過對一道典型例題的變式研究，以培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

人教版《數學》選修2-3第18頁有這樣一道例題：有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各一本，共有多少種不同的送法？

解決這個問題是很容易的，答案是A . 就這個問題可以引導學生變換問題條件嘗試設計一系列新問題.

（一）將送的書變化

將5本不用的書改為相同的書，從中選3本送給3名同學，每人各一本，共有多少種不同的送法？

答案：C.

（二）將送書的方法改變

1.有5本不同的書，全部送給3名同學，共有多少種不同的送法？

答案：每本書有3種不同的送法，由分步計數原理，共有3×3×3×3×3=3種不同的送法.

2.有5本不同的書，全部送給3名同學，每人至少1本，共有多少種不同的送法？

答案：送書的方案有兩種：1人得3本，2人各1本；1人得1本，2人各2本.

故共有C·A+·A種送法.

3.有5本不同的書，全部送給3名同學，其中至少有1人得2本，共有多少種不同的送法？……